Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
бозонных и Nf фермионных хвостов, Е ь внешними бозонными линиями и Ef
внешними фермионными линиями. Как мы только что отметили, числа NfViEf
должны быть четными. Число пе-тель дается соотношениями
L = J - V + \ = Ib -н/у - К 4- 1. (3.1)
Кажущаяся степень расходимости в d измерениях равна
Dd = dL-If - 21ь, (3.2)
так как каждая внутренняя спинорная линия вносит только одну обратную
степень импульса. Далее, полное число фермионных линий равно NfV~Ef+:2If
(3.3)
192
Глава 5
и аналогично полное число бозонных линий -
NbV=Eb+21b- (3.4)
Эти соотношения позволяют записать Dj в виде
1_ ,, "Г. 1 "г . 1
2
1
d ~ -т- (d-\)Ef - - (d-2)Eb -V[d-J- (d- 1) Nf -
(d-2)Nb]. (3.5)
С
При N j = Ej =0 данное выражение сводится к полученному ранее выражению
для случая одних бозонов. В других измерениях выражение
(3.5) имеет вид
О2 = 2 - -- Еj - V(2 - - /Vy) (2 измерения), (3.6)
2 2
откуда следует, что /Vy< 4 (2 измерения), (3.7)
так как в противном случае расходимость будет расти с ростом числа
вершин. Следовательно, даже в двух измерениях существует ограничение на
тип разрешенных фермионных взаимодействий: в нем не дол-жны содержаться
степени выше (у)4. Можно сказать иначе: в противоположность бозонным
полям, которые в двух измерениях безразмерны, спинорные поля имеют
размерность (- 1/2), так что взаимодействие наибольшей степени, не
требующее введения размерной константы связи, - это vp4.
В четырех измерениях имеем
04 = 4 - -1 Ef - Еь - V [ 4 - - Nf -Nb]. (3.8)
2 2
Если мы не хотим, чтобы число примитивно расходящихся диаграмм росло с
ростом числа вершин, то нужно потребовать, чтобы выполнялось условие
4 -
L Nf-Nb> 0, (3.9)
¦2
где Nf - четное число. Решение этого неравенства Nb = 0, /Vy = 2 похоже
на включение массового члена, а не на вершину взаимодействия; решение N^=
0, Nb = 2, 3, 4 приводит к рассмотренным ранее взаимодействиям ф2) ф3 и
ф4. Единственное новое решение, включающее как фермионы, так и бозоны,
таково:
Nf = 2, Nb = 1, (3.10)
Интеграл по траекториям при наличии фермионов
193
что дает
_3 ~2
D4 = 4- 4- Ef-Eb. (3.11)
Это новое решение, описывающее единственное разрешенное перенорми-
руемостью фермионное взаимодействие, невероятно ограничивает все
возможности: перенормируемые фермионные взаимодействия должны содержать
не более двух фермионных полей и одного бозонного поля. Следовательно, в
четырех измерениях фермионы входят в лагранжиан ? только квадратично!
Данное обстоятельство можно выразить иначе: в четырех измерениях фермионы
имеют размерность (- 3/2), а бозоны - (- 1). Стало быть, единственная
нетривиальная связь размерно-
сти 4 - это связь двух фермионов и одного бозона
Сделанный нами примечательный вывод чрезвычайно упрощает анализ теорий,
включающих взаимодействие спиноров. Если заданы два поля со спином 1/2,
то можно образовать комбинации либо со спином 0, либо со спином 1. Связи
с полем спина 0 - это юкавские связи, и они возникают во многих обличиях.
В пространстве Минковского для дираковского поля имеем связи
iVz,4>, Wb*. <ЗЛ2>
где 9 - скалярное, а ф' - псевдоскалярное поле. Для вейлевского по-ля
имеем
LCT2^?,9i" г'ч^ cr2ip* ф , (3.13)
L ь
где ф j и ф2 не обладают определенной четностью. В евклидовом
пространстве возможные связи имеют вид
J ф, Ч'\,у5Ч'рф" (евклидово пространство) (3.14)
L L, Е Ь
Связи со спином 1 для дираковской частицы в пространстве Минковского
имеют вид
i^DY^D^, S'ws'MJ , (3.15)
где A w - векторное поле, ад4м - аксиально-векторное поле. Для вей-
Р
левских полей имеем связи
194
Глава 5
где Вц и В,ц не обладают определенной четностью. Векторные связи в
евклидовом пространстве таковы:
Взаимодействие спинорных и векторных полей будет подробно рассма*
триваться в следующих главах. Фейнмановские правила для вершин юкавского
взаимодействия сводятся просто к самим безразмерным юкавским константам
связи:
if: ifW <р, (3.18)
1 - fW r^Ys^p. (3.19)
Здесь штриховыми линиями обозначено бозонное поле, а сплошными -
спинорное, причем спинорные индексы опущены.
Грассманова природа спинорного поля находит отражение в одном
кардинальном изменении фейнмановских правил: если в диаграмме име* ется
замкнутая фермионная линия (петля), эту диаграмму нужно брать со знаком
минус, что иллюстрируется следующим примером.
Рассмотрим выражение (скажем, в евклидовом пространстве)
dettdpdb + ЛЛ(х)]
W = Щ;------------------------------- = (3,20)
det [ + ^А(х) 1
где А (х) - скалярное поле, а детерминанты следует понимать как
функциональные. Мы можем выразить их через интегралы по траекториям,
причем детерминант в знаменателе дается интегралом по бозонным полям, а в
числителе - по грассмановым полям, В результате имеем
W=f$)<p 2>Р*е1 < в- ЛЛ(ж)ч,> 4- < ф*(<?2 4-
Л>4(ж))ф> .
(3.21)
В такой форме это выглядит как теория грассманова поля ip,
взаимодействующего с комплексным скалярным полем через внешнее поле
Интеграл по траекториям при наличии фермионов____________195
А (х). Фейнмановские правила таковы:
