Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
Группа Лоренца в евклидовом пространстве становится компактной, что
означает (гл. 1), что она состоит из двух совершенно неэквивалентных
5?/(2)-компонент. Однако оператор производной все так же преобразуется по
представлению (1/2, 1/2,), и если мы теперь захотим составить
лоренцовский скаляр, линейный по производной, то нам потребуется два
разных поля у ~(1/2, 0) и ~(0, 1/2) для построения векторных величин,
преобразующихся как (1/2, 1/2). Можно построить два таких действительных
вектора с компонентами
(ivp^vpjj + 'VR4V - + (2.29)
(ч^Уд- + (2.30)
Интеграл по траекториям при наличии фермионов
189
помня при этом, что, так как и - грассмановы числа,
(vpt yR\* = 4Tl4>*r = (2*31)
Если ввести четырехкомпонентный евклидов дираковский спинор 'Ves-('Vl)>
(2.32)
^R
то можно переписать рассматриваемые векторы в виде
<2-33>
где уц - евклидовы у-гйатрицы
И! ¦;)• <2-з4)
удовлетворяющие соотношению
* Уц> Yv ^ " 25^; (2.35)
У5 = (о _°1)" (2.36)
Возможные массовые члены имеют вид (в евклидовом пространстве существует
только один тип массы)
^r*r> <2-37)
так что евклидов лагранжиан дается выражением
=4j1gV^E + <2*38>
причем мы позаботились о том, чтобы лагранжиан был действительным,
?* =? . (2.39)
Е Е
Соответствующий производящий функционал таков:
/?] = N fV^Dvge- + *'Е W + *>?.Е?]=" (2.40)
= N'ei(*4PS1ElP)lP'-"r1lElP)' {2А1)
190
Глава 5
откуда получаем выражение для пропагатора
ge(p) =---------
А
р + т
где учтено, что рр = - р2. Отметим, что,как и ожидалось, в знаме-нателе
пропагатора стоит величина р2 + ^.Мы с удовлетворением видим, что у него
такая же структура, как и у дираковского пропагатора в пространстве
Минковского.
В случае вейлевских полей, по-видимому, не должно быть подобного
соответствия: в евклидовом пространстве невозможно построить Уравнение
первого порядка для поля, преобразующегося по представлению (1/2, 0),
исходя из инвариантного лагранжиана, содержащего только это поле (как мы
только что видели, это легко можно сделать, если рассматривать два
вейлевских поля). Если ФИТ может быть хорошо определен только в
евклидовом пространстве, как утверждают специалисты по аксиоматике, то
тогда, вероятно, мы столкнемся с вполне реальной проблемой там, где
приходится иметь дело с вейлевскими полями, например в теории слабых
взаимодействий или в ее объедане" нии с КХД. Подчеркнем, что в рамках
теории возмущений с теорией поля, содержащей вейлевские поля в
пространстве Минковского, вроде бы не происходит ничего плохого. Но может
оказаться, что при более полном исследовании обнаружатся сюрпризы,
которые потребуют удвоения числа вейлевских фермионов, что при некотором
(большом) масштабе восстановит векторно-подобную структуру слабых
взаимодействий.
С другой стороны, поскольку ферми-поля входят в перенормируемый
лагранжиан квадратично, их интегрирование приводит только к
детерминантам. Поэтому можно думать, что нам требуется лишь какой-нибудь
евклидов функционал, который приводил бы к правильному ( в смысле его
продолжения в пространстве Минковского) детерминанту. Такой подход
требует удвоения числа независимых грассмановых полей (см. лекции
Коулмена "Применения инстантонов" [ 1 ] и задачу Д).
Задачи
А. Вычислите производящий функционал для майорановского и дираковского
полей в пространстве Минковского.
Б, Покажите, что в евклидовом пространстве оператор преобразуется по
представлению (1/2, 1/2).
р -т
Р* + т2
(2.42)
Интеграл по траекториям при наличии фермионов
191
В. Пусть в евклидовом пространстве задано ip^~(l/2, 0). Постройте
квадратичную форму, преобразующуюся по представлению (1. 0).
Г. Покажите, что спинорный лагранжиан в евклидовом пространстве обладает
следующим любопытным свойством: массовый член в лагранжиане инвариантен
относительно так называемого кирального преобразования Уд -" eiaYs Ч^, а
кинетический член - нет!
(Э Л
Д. Формально определим = х(д-+ im)y, где х и у - независимые
четырехкомпонентные грассмановы поля. Покажите, как нужно интегрировать,
чтобы получить обычный дираковский детерминант. Проанализируйте в этом
случае киральную инвариантность.
§ 3. Фейнмановские правила для сдинорных полей
В предыдущем параграфе говорилось о фейнмановских правилах для свободных
ферми-itoлей. Здесь мы выведем правила для взаимодействующих спиноров.
Спиноры могут взаимодействовать по-разному, лишь бы выполнялось условие
сохранения спина, которое требует, чтобы все вершины взаимодействия
содержали четное число пар спинорных полей. В гл. 1 мы уже приводили
примеры теорий со взаимодействующими фермионами.
Число возможных фермионных взаимодействий резко сокращается, если мы
накладываем условие перенормируемости, которое требует, чтобы число
примитивно расходящихся диаграмм было конечным. Поэтому вычислим
кажущуюся степень расходимости D произвольной фейнмановской диаграммы с
фермионами.
Рассмотрим диаграмму с L петлями, 1Ь бозонными внутренними линиями, If
фермионными внутренними линиями, V вершинами, каждая из которых имеет N ь
