Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
Если ввести lxl- матрицу 2m12, то на основании формулы (1.16) получим
fdr) *i*ei'T1*WT1 = det М, м=2та. (1.31)
Эту формулу можно обобщить на случай /V комплексных грассмановых чисел.
Аналогично доказывается, что
[dri* + =det Ме-^*(М)~Ч
(1.32)
где ? и ? * - комплексные грассмановы числа. Формулы (1.27) и (1.3.2)
чрезвычайно важны для вычисления интегралов по траекториям при наличии
фермионов, связанных с внешними грассмановыми источниками.
Интеграл по траекториям при наличии фермионов
185
Задачи
A. Дайте общее доказательство формулы (1.20).
Б. Докажите формулу (1.27) при N = 4 явным вычислениям.
B. Докажите соотношение (1.31), если М' есть матрица 2к 2.
Г. Докажите формулу (1.32).
Д. Покажите, что / da еаМР = det М, где а и (3 - независимые грассмановы
переменные.
Существуют три способа описания свободных частиц со спином 1 / 2 в
пространстве Минковского.
А. Вейлевский лагранжиан
описывает с помощью двухкомпонентного комплексного спинора левую
безмассовую частицу одновременно с ее правой античастицей (например,
безмассовое левое нейтрино и правое антинейтрино), причем эти частицы
связаны между собой дискретным СР-преобразова-нием
описывает массивный вейлевский спинор. Он интерпретируется как
самосопряженная частица со спином 1/2 и двумя степенями свободы,
отвечающими спину, направленному вверх или вниз. Массивный вейлевский
спинор можно выразить через четырехкомпонентное майора-новскзе поле
§ 2. Интеграл по траекториям для свободных ферми-Лолей
(2.1)
CP: Vl -* V*L •
(2.2)
Б. Майоранов с кий лагранжиан
(2.3)
(2.4)
так что майорановский лагранжиан принимает вид
1
т
186
Глава 5
В. Дираковский лагранжиан
описывает частицу с двумя степенями свободы и отдельную от нее
античастицу (например, электрон и позитрон). Этот лагранжиан имеет вдвое
больше степеней свободы, нежели вейлевский и майорановский, и помимо СР
сохраняет и Р. Для удобства этот лагранжиан выражают через
четырехкомпонентный дираковский спинор
Если ввести связь с внешними источниками, то для каждого из этих
лагранжианов можно построить производящий функционал. Вейлев" ские поля у
- могут быть связаны с источниками в выражениях вида
Эти два вида связи эквивалентны при замене х д = сг2 х ^ • Следователь*
но, можно рассматривать только один тип связи с источником.
В вейлевском случае рассмотрим функционал
Как и во всех свободных теориях, он без труда вычисляется. Введем
фурье*образы
(2.7)
в виде = Ч'о (у * d<+ iirl) t1/).
(2.8)
XTLa2^L + э°0-- Х^Ч^+э.с.
(2.9)
(2.10)
(2.11)
как в гл. 3. Показатель экспоненты принимает вид
iSw = - М4р[^(р)а • p^L(p) + (-p)a2^L(p) +:4>^(p)a2X* (-p)l*
Перепишем его в виде
(2.12)
d*p I [sp^(p) + ??(p)l a - p[yL (р) + <R z.(P) 1 + v\(p)°-P9l (p) U
(2.13)
Интеграл по траекториям при наличии фермионов
187
где q> (р) - решение уравнений движения
Ld
зХЦ-pb (2.14)
Р
При такой форме записи мы видим, что можно сразу провести интегри-рование
по у , заменив переменную интегрирования на y!L, что при-ведет к
изменению произвольной нормировки:
(2Л5)
где мы использовали соотношения [ гл. 1, формула (4.37)]
ст • р а • р = р2, сг2Гст • рст2 = чт • р . (2.16), (2.17)
Если мы, как и в бозонном случае, положим
W= eiz } 2.18)
где Z - производящий функционал связных функций Грина, то Z[4, Xti']=
~i$d*x х\(х) (ia • д)~1 xL(x). (2.19)
Отсюда мы извлекаем двухточечную связную функцию Грина
G(r) (*,., x2) = -i(io"JLL- -хя) (2.20)
2
или в импульсном пространстве
G<2>(p)=._ _L_ =_i J' P ; (2.211
СТ. p p2
это, конечно, не что иное, как пропагатор. В такой форме данное выражение
не имеет смысла, если не задано правило обхода полюса при Р2 = 0. Мы
можем задать его по аналогии с бозонным случаем, но нужно иметь в виду,
что в фермионном случае применение (- г в )-правила не обосновано
соображениями сходимости, так как мы имеем дело с формальным грассмановым
интегрированием. Поэтому для подтверждения того же самого предписания
обходя полюса, что И[В бозонном случае, видимо, нужно перенести проблему
в евклидово пространство.
Другие два случая рассматриваются аналогично" В майорановском случае
исходим из
vi/Ujf] - Nf^MeS'4x[&M + (2.22)
188
Глава 5
и, дополняя до полного квадрата, получаем W г 1 дг-1Г^4р хм(р + "4-1 хм-
^wUj^b/V е , (2.23)
где Р = УмРц, (2.24;
что приводит к пропагатору
гм(р)= ' <2*25)
М Р+'т р2 -т2
если учесть равенство рр = р2. И в этом выражении нужно в явной фор-ме
добавить правило обхода полюса. Дираковский случай исследуется сходным
образом, исходя из функционала
= + + ^ (2>26) где теперь ? и ? - четырехкомпонентные дираковские
грассмановы источники. Аналогичные выкладки приводят к выражению
WD = N'е~ fd4PlD <Р + } (2.27)
из которого мы извлекаем пропагатор
С(r) (Р) = = -*¦ Р~т , (2.28)
Р + т Р2-т*
куда следует добавить (- i е ^предписание.
Как и в бозонном случае, можно построить производящий функ-ционал
непосредственно в евклидовом пространстве, а затем продолжить функции
Грина в пространство Минковского.
