Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 5
Интеграл по траекториям при наличии фермионов
§ 1. Интегрирование по грассмановым числам
В гл. 1 мы привели несколько примеров функционалов действия, содержащих
ферми-поля, т.е. поля, преобразующиеся по представлениям группы Лоренца с
полуцелым спином. Там же было отмечено, что ферми-по-ля должны
рассматриваться как антикоммутирующие классические поля и что такое
классическое условие не означает квантования. Если рассуждать по аналогии
с квантованием, скажем, скалярного поля, то мы придем к рассмотрению
интеграла "по траекториям" от антикоммутирующих полей. В лучшем случае
это может быть формальным понятием , лишенным прямого физического смысла,
но, как обычно бывает в подобных случаях, окончательный результат будет
представлять интерес,хотя метод его получения таков, что можно лишь
пожать плечами.
Сначала рассмотрим случай одной грассмановой (антикоммутирующей)
"переменной" 0. Она удовлетворяет условию
(символ !,! означает антикоммутатор). Определим дифференциальный оператор
d/db равенством
, 0 ! = 1. (1.2)
db
В силу соотношения (1.1) разложение любой функции /(0) переменной 0 будет
иметь простой вид
Для удобства будем считать (3 величиной грассманова типа, а а -
действительным коммутирующим числом. (Далее грассмановы переменные будем
обозначать греческими буквами.) Отсюда следует, что
! 0, 0!= О, или 02 = О
(1.1)
/(0) = о ь |3 0.
(1.3)
(1.4), (1.5)
если принять {d/ db) a = S d/db, (3 i = 0. Из уравнения (1.5) следует,
182
Глава 5
что
!т'4-| = о' (1-б)
dQ dQ
т.е. что для дифференцирования нет обратной операции. Это очень неудобно,
так как все привыкли думать об интегрировании и дифференцировании как об
обратных операциях. Но тем самым мы предупреждены о том, что
интегрирование следует вводить формальным путем. Определим его как
операцию, обозначаемую символом f^0..., со свойствами
/7/0=0, fdd 0=1, (1.7)
т.е. эта операция действует в точности как дифференцирование. При таком
определении операция интегрирования удовлетворяет критерию инвариантности
относительно трансляции переменной интегрирования на постоянную величину.
Мир одной грассмановой переменной довольно уныл, а потому рассмотрим N
грассмановых переменных 0г- , г =1, ..., N, удовлетворяющих условиям
I 0{,, 0;-1 = 0, г, / = 1, ..., /V. (1.8)
Введем соответствующие операторы производных в соответствии с равенствами
'^7 1 аеГ ' "dir 1" (1-9MUC)
Любую нормальную (т.е. не грассманову) функцию переменных 0(. можно
записать в виде
f ((r) i ) = а ^ Р г +¦ с ? у (r) i (r) l"c0i02"** > (В11)
где последний коэффициент является грассмановым или нормальным в
зависимости от N. Интегрирование определяется так же, как и в случае
одной переменной:
f dQ- = 0, /\</0г- 0; =1 (по г нет суммирования). (1-12)
Когда мера интегрирования и подынтегральное выражение содержат более
одной переменной, условимся проводить интегрирование в соответствии с
процедурой вложения. Так, например,
/V0,</02e,02 = -ffo^deji) 0, = - 1. (1.13)
В качестве примера рассмотрим интеграл
lN(M) = fldQ1 ...dQNe~*Tm , (1.14)
Интеграл по траекториям при наличии фермионов
183
где М - антисимметричная N к N-матрица с нормальными элементами mij, а
экспонента определяется своим разложением в ряд. При N = 2 имеем
При нечетном N можно показать, что интеграл I обращается в нуль; это
согласуется с тем, что интеграл / пропорционален квадратному корню из де"
терминанта, так как детерминант нечетномерной антисимметричной матрицы
равен нулю. Чтобы угадать вид общей формулы, рассмотрим случай N = 4.
Нетрудно видеть, что соответствующе члены в разложении экспоненты имеют
вид
Это первая интересная формула. Ее следует сравнить с эквивалентной
формулой для бозонных (нормальных) полей, в которую квадратный корень из
детерминанта входит в знаменатель.
Далее рассмотрим интеграл
Чтобы упростить задачу, вычислим (1.21) сразу при N = 2. Тогда
(1.15)
2 т 12 =• 2>/ det М.
(1.16)
откуда /4(М) = 4[m12m34 -т 13т24 +:"*ит23 1 = 4,у/ det М,
(1.18), (1.19)
так что общая формула может быть записана в виде
(1.20)
INWi х) - f i ••• e
где X; - грассмановы числа,
-е^ме + 'х.-е,-
(1.21)
1х;"9/5=0.
(1.22)
(1.23)
(1.24)
184
1 'лава 5
Этот результат можно было бы получить и более простым путем, формально
дополнив до полного квадрата показатель экспоненты и сдвинув переменную
интегрирования так, как будто мы имеем дело с обычным интегрированием,
т.е. положив
0' = 6 + JL 2
и записав
(1.25)
IN(M',X)= ~.dQN в~е'Г^' + 4- ХГ^-1Х= (L26)
- x^-'x
= e 4 IN(M). (1.27)
В частном случае /V = 2 мы приходим к формуле (1.24). Цель этого
небольшого упражнения двоякая: во-первых, вывести формулу (1.27) во-
вторых, показать, что благодаря определению (1.7) при грассмано-вом
интегрировании разрешен сдвиг переменных.
Приведенные выше формулы можно обобщить на случай интегрирования по
комплексным грассмановым переменным. Для примера положим
n= (е,<-;е2); n* = -L. (е, - ;в2), (1.28)
так что dei dQ2= dr]*dr], QT Мв = - 2ir|* m12p. (1.29), (1.30)
