Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
В самом деле, мы уже вычислили мнимую часть функции Г(4)-; она имеет
порядок Л2 и появляется только при s > 4m2. Но можно вычис-
(2тг) *
Q(a0)Q(b0)5(a 2 -гг?) х
и
(9.29)
+ (s -" t) + {s ¦* и) + 0(Л3)]
(9.30)
Г|4>(Ь 2, 3, 4)= -i < 3, 4 1 Т i 1, 2 >.
(9.31)
178
Глава 4
лить эту мнимую часть из соотношения унитарности (9.29), подставив в его
правую часть вершину низшего порядка теории возмущений.
Это приводит к выражению
показать правильность которого мы предоставляем читателю. Оно содержит
только вклад низшего порядка в мнимую часть; 4-, 6- , .
-частичные пороги будут давать вклад в мнимую часть лишь в более высоких
порядках по Л.
Если учесть эту связь между функциями Грина и амплитудами рассеяния, то
возникает новый способ вычисления мнимой части диаграмм, основанный на
соотношении унитарности. Такой способ пригоден для вычислений по теории
возмущений, поскольку правая часть равенства (9.29) имеет квадратичную
структуру; это означает, что если амплитуда < at b | Т| 1, 2 > вычислена
в порядке Л^.то мнимая часть будет определяться в порядке ~Кк + 1 .
Сказанное имеет важное значение благодаря существованию оптической
теоремы, которая связывает мнимую часть амплитуды рассеяния вперед с
полным сечением. Эта теорема легко доказывается подстановкой | 3, 4 > = |
1,2 > в формулу (9.29) и сравнением правой части получившегося выражения
с проинтегрированным выражением (9.22).
Можно получить и диаграммное представление унитарных ограничений, если
вспомнить смысл фейнмановского пропагатора.
Имеем
и здесь в явном виде выражается то обстоятельство, что Ар - пропагатор
состояний как с положительной, так и с отрицательной энергией в
зависимости от знака xQ, Если теперь ввести новый набор правил, в котором
полный пропагатор AF заменен произведением B(kQ )8(k2 -т2), то мы получим
графический способ вычисления
21т (г Г(4>) =
-ii-xr- / dAad*bQ(a0)Q(b0)S{a2 -т2) х (2тт)2
х 5(6 2 _т2)5П + 2-а -Ь) + 0( А4),
(9,32)
х 5(62 _т2) + в( _ х j / 6(+А0)б(*2 ~т2),
(2тт)
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория if* 179
мнимых частей и, следовательно, полных сечений. Конечно, новое правило
применимо только в пространстве Минковского. Вместо старого правила
i
р 2 - ш2 + г ?
введем новое правило для пропагатора с разрезом (2^ШР0)5(Ро -и2)*
Заметим, что разрезанный пропагатор несимметричен, как показывает
штриховка. Дело в том, что, поскольку мы должны вычислять ТТ^ в правой
части (9.29), части диаграммы, лежащие слева от разреза, должны
соответствовать сопряженной диаграмме справа от него, хотя они могут быть
и неодинаковыми. Мы отсылаем заинтересованного читателя за деталями к
работе 'т Хофта и Вельтмана " Диаграмматика" [10].
Итак, равенство (9.32) в диаграммном представлении запишется
в следующем виде
' Im ю = . Окончательный
результат заключается в том, что можно вывести общие формулы, в которых
мнимая часть диаграмм представляется в виде суммы всех возможных разрезов
этих диаграмм. (Это не так плохо, как кажется, поскольку многие из
разрезанных диаграмм дают нуль в силу закона сохранения энергии, ибо
разрезание фейнмановс-кого пропагатора ограничивает поток энергии одним
направлением).
На этом мы завершаем изучение теории Аф4 в рамках теории возмущений,
Задачи
A. Исходя из выражения (9.19), покажите, что da/dQ =
= (1/s )| Т\ 2 64тт2.
Б. Покажите, что для упругого рассеяния бесспин вых частиц < 3,41 S | 1,2
> = < 1,2J S1 3,4 >.
B. Исходя из соотношения унитарности вычислите Im(t Г*41) и сравните с
результатом, полученным ранее по теории возмущений.
180
Глава 4
Г. Покажите, что в общем случае при е > О ^ = -itt5(x) + P( ),
х + I ? х
где Р(1/х) - главное значение величины 1/х в смысле Коши, определяемое
как
1 +оо
P(_L_)=.-i / йуе1хУ [в (у) - е(-у)и
X - ос
*>д. Вычислите мнимую часть диаграммы " заходящее солнце" , пользуясь
соотношением унитарности im [i -0-] = -0)- •
**> Е. Пусть задан лагранжиан ftE = <Э ф<9 ф + _L
2 мт 1-п
h 3 . А
Ф >
2(r)2 +
т Ф
+ п ~3 + _ ...т' ¦:
3! Y 4!
а) выведите феймановские правила; б) найдите изменение т, h и Л в
результате изменения масштаба с точностью 0(h); в) решите уравнения,
полученные в пункте б, и дайте физическую интерпретацию результата. Можно
пользоваться любым рецептом перенормировки, но мы рекомендуем рецепт, не
зависящий от масс.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ч Hooft G", Veltman Ai, Nucl. Phys., E44, 189 (1972).
2. Curtright, Ghandour, Ann. of Phys., 106, 209 (1977).
3. Gell-Mann М., Low p., Phys. Rev., 95, 1300 (1954).
4. Callan C" Phys. Rev., D5, 3202 (1972).
5. Symanzik К,, Comm. Math. Phys., 23, 49 (1971).
6. Georgi H", Politzer 1LD>, Phys. Rev., D14, 1829 (1976).
7. 4 Hooft G., Nucl. Phys., B61, 455 (1973).
8 .Weinberg S" Phys. Rev., D8, 3497 (1973).
9. Coleman S., in: Proc. of the 1971 Int. School of Subnuclear Physics,
Erice, Italy, ed. A. Zichichi, Acad. Press, 1973.
10. 4 Hooft G., Veltman Me, ln:Patricle Interactions at Very High Energy,
part B, eds. D. Speiser et al., Plenum Press, N.Y., 1974 •
