Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
А
где R содержит интересующую нас информацию. Отсюда следует, что Тар -<а ,
- S+ | |3, "в0>
" (3 - г <ос" - оо|/?+|{В, - ооО" (9.11)
Поскольку взаимодействие лоренц инвариантно, можно написать
ТаР - бар - * (Ь)48И"(ра -рр) <а, - "| Т+| Р , - ~ >" (9.12)
где ра (рр) - сумма импульсов в конечном (начальном) состоянии. Тогда
вероятность перехода во всем пространстве-времени дается выражением
"B|i.-[(2iT)48<">(f>e -РрН2 х
х < а , - оо | Т+1 р, - "><р, - "о| 7| а, - .">. (9.13)
Легко сообразить, какой смысл имеет квадрат 5-функции: величина (2 тт)
4614* (0) есть объем пространства-времени (в чем нетрудно убедиться,
поместив систему в некий ящик). Отсюда вытекает, что вероятность перехода
в единице объема пространства-времени равна
"ер -(2ту)45И"(ра -рр)|.<а| Т|р>|2. (9.14)
Это выражение справедливо для состояний, удовлетворяющих соотношению
(9.2). В нашем случае состояния с заданным импульсом нормированы не на 1,
а согласно (9.4). Поделив на нормировочный коэффициент, находим
Q (р" | ра ) г Q, - (2"?45t4>tt"e :?р) 1<g| f|p>|a, (9.15)
в 1 ^7 Р"РЭ (2Еа)(2Ер) 1
где ?а(?р) означает произведение энергий в состояниях о(р), причем каждая
энергия определяется как
Ei к у/р? + т2. (9.16)
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория <р4
175
В экспериментах по рассеянию обычно измеряют сечение рассеяния двух
частиц (мишени и налетающей частицы) с превращением в несколько частиц.
Такое сечение находится по формуле
da(a -l + 2 + ... + iV) = -L-Q(pa, = ^ ^ ^ x
<x Ф
d3p.d3p . . . d3pN x 12 (9.17)
(2tt)
jtt
Здесь vab - относительная скорость частиц а и b \ в случае частиц с
одинаковой массой она дается выражением
yJiPa ' Pb)2~
^ * - -..Е р------------------------------------------------- (9Л8)
Собирая все результаты, получаем da (a +b-*l + 2+ ... + N)-
(2тг)4 б *4 * {ра + ръ -р, . . -pN)
X
4V (РаРь )2 ~
А , У d3p:
X < Раръ I Т I р . pN > | 2 П ___________________________________ (9.19)
1 *-1 2(2тт)з ?.
Заметим, что мера интегрирования d3p/2E релятивистски-инвариантна,
поскольку
d3p/2E " d*pQ{p0 )S(p2 -т2). (9.20)
Рассмотрим интересный частный случай упругого рассеяния, для которого N ш
2. Определим систему центра масс, в которой
ра + рь = р, = р2 = °. (9.21)
Тогда из простых соображений кинематики можно написать
da (а + b -> 1 + 2) " J Н2 dQ , (9.22)
64ttz5
176
Глава 4
Рис. 7.
где dQ " d<fd(cosQ), причем в - угол между начальным и конечным
направлениями импульсов (рис. 7), a s - мандельстамовская переменная: s
ш(ра + рь )2
Как и можно было ожидать" перенормированные функции Грина мы отождествим
с матричными элементами оператора Т. Поэтому важно перейти от требования
унитарности к условиям для Т и убедиться в том, что они выполняются при
таком отождествлении.
Из условия унитарности для S вытекает, что
АЛ Л А Л Л
R -fit- г'Я 17? * iRRt (9.23)
В этом операторном уравнении собраны все ограничения на R" диктуемые
унитарностью. Возьмем, например, матричный элемент этого соотношения
между двухчастичными состояниями | 1, 2 > или | 3, 4 > ¦:
< 3, 4 | Д| 1, 2> - < 3"4| ЯТ| 1"2> - г < 3" 4 | 1,2 > . (9.24)
Как нетрудно видеть, в случае, когда внешние частицы бесспиновые,
< 3, 4 | ЯТ| 1, 2 > - < 1, 2 | fit | 3,4 > . (9.25)
С учетом равенства < 1,2 | ЯТ | 3, 4 > = (< 3,41 R | 1,2 >)* (9.26)
получаем 21т < 3,4 | Я| 1, 2 > - < 3,4 | ЯЯТ| 1,2 > . (9.27)
Правую часть можно переписать иначе" если ввести набор промежуточных
состояний. Так как мы хотим ограничиться взаимодействиями" включающими
четное число состояний (инвариантность при замене Ф -* - ф), низшим по
энергии промежуточным состоянием будет двухчастичное состояние | а, Ь > -
| а >\Ь > " Поэтому с учетом формулы
(9.3) приходим к выражению
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у4 177
х 5 {Ь 2 -гг?) <3,41 R | a, b > <as b | | 1,2 > + . .
. , (9.28)
где многоточием обозначена сумма по 4-, 6=, . . . -частичным
промежуточным состояниям. В случае Г-матрицы (9.1 2) выражений (9.28)
принимает вид
х S (62 -гг?) 5 (a +b -1 - 2)< 3,4| Г!| a, b > <а, b | Г| 1,2 > + . . ..
Так как а и b находятся на массовой поверхности, это выражение будет
отлично от нуля только в том случае, если начальное состояние I 1,2 >
обладает достаточной энергией, чтобы породить промежуточное состояния |
а, Ь>, т.е. если s = (pt ± р2),2 > 4от2. Таким образом, вследствие
унитарности и полноты Т-матрицы ее элементы действительны при 5 < 4т2 и
приобретают мнимую часть после того, как пересекается двухчастичный
порог, а для всех других, более высоких порогов имеются дополнительные
вклады в мнимую часть.
Сравним теперь это с четырехточечной функцией, полученной по теории
возмущений,
Мы видели, что интеграл по параметру действительно приобретает мнимую
часть и имеет точку ветвления при s = 4m2, так что все это согласуется с
соотношением унитарности (9.29). Таким образом, мы получаем возможность
отождествить функции Грина с величиной - i, умноженной на Г-матрицу. В
данном случае
