Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
особенностей: полюс при р2 = т2 [должным образом сдвинутый с помощью
правила (- i е)] и точка ветвления при Р2 "9 т2 с разрезом, проведенным
по традиции вдоль действительной ори р2 и простирающимся до р2 - + ".
Когда включаются более высокие порядки по А, то должны, по-видимому,
встречаться точки ветвления при больших значениях р2. Такая структура
особенностей (конечно) согласуется с интерпретацией G<21 как пропагатора.
Задачи
* А, Пользуясь диаграммами и учитывая физические соображения, найдите
положение точек ветвления в Г(4> с учетом членов 0(А4).
*Б. Повторите задачу А для пропагатора.
i*B. Покажите, что функция Г14> удовлетворяет дисперсионному соотношению,
выраженному действительную часть Гt4> через ее мнимую часть. [
Используйте только выражение для Г^4*, найденное по теории возмущений с
точностью 0(А2).]
172
Глава 4
§ 9. Сечения и унитарность
Теперь мы уже почти у цели. Мы хотим отождествить функции Грина в
пространстве Минковского с амплитудами перехода. Но не все функции могут
быть амплитудами перехода, так как они должны удовлетворять определенным
требованиям, в частности тем, которые вытекают из унитарности и
причинности. Как вы, наверное, уже догадываетесь, функции Грина из
предыдущего параграфа удовлетворяют этим требованиям.
Чтобы точно сформулировать требования, вспомним формализм S-матрицы и
применим его к теории Лф4.
Допустим, что можно определить состояния очень далеко от области
взаимодействия, в частности в очень отдаленном прошлом или будущем. Смысл
таких состояний вполне ясен в случае короткодействующих сил, например в
случае слабого или сильного взаимодействия. Когда же включаются и
дальнодействующие силы, дело усложняется и при определении таких
состояний нужно быть особенно внимательным. Пусть состояния описываются
кет-вектррами ] а; ±Т>, где Т -очень большое время, а а - полный набор
наблюдаемых. Эти состояния удовлетворяют требованиям полноты и
ортогональности
2|а; +ТХ+Т; а| -1,.<а; ±Т|(3; ±Т>"баа. (9.1),(9.2)
а
Если наша система - гармонический осциллятор, то а - число заполнения и
т.д. Очень важно то обстоятельство, что приведенные соотношения
выполняются только в данный момент времени и поэтому не учитывают никакой
динамики, а только кинематику. Если при больших Т взаимодействие можно
выключить (короткодействующие силы), то такие состояния легко опознать
как диагонализующие невозмущенный гамильтониан.
В теории Лф4 при т2 ? 0 не составляет труда опознать такие состояния. Они
составлены из одночастичных вигнеровских состояний, отмеченных значениями
тир, причем энергия определяется как + у/р2 + т2. Если мы перейдем к
обозначениям более релятивистского вида, т.е. обозначим эти состояния
символом | р >, где р - вектор
4-импульса, то требуется, чтобы они удовлетворяли соотношениям
/ JJL | p>Q(p0 )ё(р2 -т2) < р\ = 1, (9'3)
(2тт)°
<р\ р'> = 2(2тт)3 у/р2 + т2 5(р -р'). (9.4)
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у4
173
Тогда любое многочастичное состояние будет суперпозицией невзаи-'
модействующих одночастичных состояний
| а, ±оо> - | рЛ> р2> ... ,рп > * | р, > <8 j р2с> (r) . . .0) рп >
<9.5)
В теории Лф4 имеется некоторое оправдание нашей уверенности в том, что
эти состояния дают асимптотические состояния: поведение константы связи
при больших масштабах таково, что свободный фейнмановский пропагатор
точно описывает распространение сигнала, а мы знаем, что Ар -
действительно пропагатор одночастичных состояний описанного выше типа.
(Здесь мы рассуждаем несколько бесцеремонно, поскольку, строго говоря, Ар
- пропагатор состояний как с положительной, так и с отрицательной
энергией,) Попутно заметим, что если на больших расстояниях константа
связи растет с расстоянием, то как асимптотические состояния следует
идентифицировать лишь конструкции, которые могут избежать влияния столь
огромных сил. По-видимому, именно так обстоит дело в КХД, где на кварки
действуют такие силы. Поэтому кварки не могут служить асимптотическими
состояниями. Но эти силы действуют только на объекты с цветом, что
позволяет определить асимптотические состояния, не имеющие цвета
(адроны).
С физической точки зрения интерес представляет вычисление амплитуды
перехода
Тар = <а, + "| Р> - <"> • (9.6)
Следуя Гейзенбергу, определим S -матрицу, обладающуя свойством
| р, + °°> = S | р, - оо>. (9.7)
Такая S -матрица должна содержать всю динамическую информацию об эволюции
физических состояний во времени. Из условия полноты состояний на + °" и
на - <"
А Л, ЛИ
l"S]p,+oo><+oo,p| "2 S|p, - оо>^- oo,pjSt=SSt
э э (9.8)
л
следует, что оператор S унитарен. (Вы можете также показать, что StS =
1). Физический смысл унитарности в том, что система не может превратиться
в ничто (черные дыры ?). Когда состояния рассеиваются, то большую часть
времени ничего не случается - они значительно
174
Глава 4
охотнее пропускают друг друга, чем взаимодействуют. По этой причине
положим
S-1 + г'Д, (9.9)
