Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
заменяется зеличиной т2 -it в соответствующем выражении в пространстве
Минковского. Таким образом, мы приходим к соотношению
заменив в евклидовой функции все импульсы продолженными в пространство
Минковского, т.е. заменив импульсы р = (р0> pt ) импульсами р = (г р р.
). Пользуясь топологическим соотношением L = 1 - V + ? 0), получаем
соотношение
(8.3)
рп=Рп; ГГ?-it),
(8.4)
GM* (Р> м2) = U )ge"> (р = р; т2 -it),
(8.5)
справедливое для любой фейнмановской диаграммы с V/ 0. Исключением из
этого правила является выражение для самого пропагатора
Вы числение ФИТ методом теории возмущений: теория у4
(V = 0), в котором i заменяется на -г , что можно увидеть из (8.4),
положив L = V = 0 , / = 1.
В качестве примера использования такой процедуры рассмотрим
четырехточечную функцию в пространстве Минковского. Имеем
Здесь мы умножили евклидово выражение на i , заменили р2 на>-р2 и т2 на
m2 - it. Вычитание в евклидовой функции Грина было сделано при pi р. =
М2(5{-у - 1/4), так что Г^4> = -Л в этой симметричной точке (рецепт Б).
Заметим, что точка вычитания входит как параметр и не подвергается
изменению в процессе продолжения. Добавка -г е в знаменателе не нужна,
так как знаменатель нигде не обращается в нуль. Числитель не может
изменить знак при некотором значении 5 = (Р, + Р2)2. Когда это
происходит, у логарифма появляется разрез в комплексной "-плоскости.
Рассмотрим аргумент логарифма
Величина х(1 - х) положительно определена и изменяется от 0 до 1/4.
Следовательно, наименьшее значение ", при котором F обращается в нуль,
равно
где предполагается, что произведение х{1 - х) равно своему максимальному
значению. В этой точке у функции Г 14 * появляется точка ветвления. По
традиции из этой точки проводят разрез в комплексной "-плоскости, идущий
от 4ш2 до + оо вдоль положительной действительной оси. Аналогичным
образом вклады t - и и-каналов дают разрезы, начинающиеся при 10 и и о -
4т 2. В силу соотношения
" + t + и =¦ 4 п? (8.9)
не все эти разрезы независимы. Физический смысл возникших точек ветвления
нетрудно выяснить, если интерпретировать Г(4) как амплитуду рассеяния для
рассеяния двух частиц с импульсами р, и р2 в
1 , m2 -it -"х(1 - х) xjdx In (__________________
о тп2 - ге + М 2х(1 - х)
) + t - и и-каналы].
(8.6)
F(s, х) = т2 - it - sx(l х).
(8.7)
5 0 = 4т2,
(8.8)
170
Глава 4'
две частицы с импульсами р3 и р4 :
Р,+Р2->Р3 + Р4*
Предположив, что начальные и конечные частицы находятся "на массовой
поверхности", т.е. что
легко увидеть, что значение s 0 " 4п? соответствует тому, что две частицы
имеют минимальные энергии Еа = т. Только при sQ > 4т2 две частицы имеют
достаточно энергии, чтобы нетривиальным образом рассеяться в две другие.
Поэтому s 0 называется физическим двухчастичным порогом. Ниже этого
порога функция Г |4) - действительная функция своих аргументов, но при s
> s Q у нее появляется мнимая часть.
Резюмируем: продолжив функцию Г 14) в пространство Минковского, мы
обнаружили возникновение нетривиальной аналитической структуры; эта
структура, конечно, определяется условиями унитарности и причинности, что
и позволяет нам рассматривать функции Грина в пространстве Минковского
как амплитуды перехода.
Другой пример нетривиальной аналитической структуры, возникающей в
результате продолжения в пространство Минковского, связан с диаграммой
"заходящее солнце" . В этом случае лучший способ найти точки ветвления -
посмотреть на аргумент логарифма в интеграле по параметру. В данном
случае интересующий нас аргумент имеет вид
Он обращается в нуль, если
и положение точки ветвления будет определяться иаименьшим таким значением
р2. Чтобы найти это наименьшее значение, нам нужно минимизировать
параметрическое выражение,на которое умножается т2. В случае двухточечной
функции точки ветвления будут, вообще говоря, возникать при минимальных
значениях р2, для которых
А - -у(1 - у)р2 + т2( 1 - у + ),
х(1 - X)
(8.10)
** ТП^ f f <* о о р Я/у)"
(8.12)
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у>4_________171
где х,, . . . - Фейнмановские параметры, необходимые для
N-nercлевой диаграммы. Тогда точка ветвления расположена при
P2 = m2f(x°, . . . , х%), (8.13)
где точки х? определяются уравнениями (8.14)
df
= 0 при х,- = -х? (нужно убедиться в том, что при х? = дейсгви-
дх.
тельно достигается минимум). По имени 1Ландау, разработавшего
систематическую процедуру охоты за точками ветвления фейнмановских
диаграмм, та" кие уравнения называются уравнениями Ландау. Применяя эту
процедуру к нашему случаю, получим из (8.14), что минимум возникает при х
= 1/2, у =
= 1/3, так что точка ветвления расположена при значении
р2 = 9т2. (8.15)
Если вспомнить вид диаграммы "заходящее солнце" -0-, то станет ясно, что
эта точка соответствует минимальной энергии, необходимой для возбуждения
трех частиц, почему она и называется трехчастичным порогом.
Итак, пропагатор в пространстве Минковского имеет следующую структуру
