Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
"2
2
" ( * )2Я2+0(Л3). (7.7)
2 ц 1отг
Эти формулы показывают, что, когда присутствуют массы, зависимость от
рецепта входит уже в низшем порядке. Следовательно, только в случае,
когда можно пренебречь массами, мы можем говорить, что коэффициенты
низшего порядка в уравнении ренормгруппы не зависят от рецепта
перенормировки. Обычно при использовании рецепта типа А или Б уравнение
ренормгруппы решается в условиях, когда можно пренебречь массами. Если ц
- точка перенормировки, то мы можем считать т/ ц сколь угодно малой
величиной, выбрав очень большое ц.
Предположим, что у нас имеются два рецепта перенормировки. Они должны
быть связаны друг с другом конечной перенормировкой, поскольку
различаются только определением перенормированных параметров.
Следовательно, параметры в одном рецепте будут связаны с параметрами в
другом соотношениями
= Г(Л, т/ц) = Л + 0(Л2),
(7.8)
2^(Л ;(от/ц)') = Zm(K, m/\i)U U = 1 + 0(Л), (7.9)
^ф(А'•(""./ и)') - 2Ф(Л, т/ ц) V (\, т/ ц)$ V = 1 + 0(Л3). (7.М)
166
Глава 4
В частности, отсюда следует, что
р '(Л', (т/ ц)') = (3 (Л, m/мМ' + (т/ ц)(ут - 1М" (7.11)
где А - некоторая функция переменных Л и т,/ ц. В глубоко-евклидовой
области это сводится к уравнению вида
р'(А')-Э(АМ*(*)* (7.12)
которое показывает, что фиксированная точка X = XF превращается в
фиксированную точку X'F - A{XF) ? XF. Отметим, что этот результат получен
без применения теории возмущений. Следовательно, как можно было ожидать,
наличие (или отсутствие) фиксированной точки не зависит от рецепта
перенормировки. Можно также показать что и знак первой производной
функции (3 в фиксированной точке не зависит от рецепта (см. задачу).
Другие параметры ренормгруппы ут и yd тоже обладают некоторыми не
зависящими от рецепта перенормировки свойствами; в частности, таковы их
численные значения в фиксированной точке в глубокоевклидовой области.
Задачи
A. Докажите правильность формул (7.2) - (7.4).
Б. Докажите правильность в низшем порядке уравнения ренормгруппы для Г12)
и Г(4), удерживая конечные части F,, F2, Н2 a G,.
B. Пренебрегая массами покажите, что знак величины d$/dX в фиксированной
точке X р не зависит от рецепта перенормировки.
¦Т. Найдите связь между у'^(Л') и у'т(Х') и yd (X), ут(Л), р(Л), где
штрихованные и нештрихованные величины относятся к двум независящим от
масс схемам перенормировки (функции F, G и Н берутся сначала независящими
от m/ц, но могут иметь численные значения). Покажите, что значения
параметров yd и ут в точке XF не зависят от рецепта.
§ 8. Продолжение в пространство Минковского, аналитичность
Мы получили конечные функции Грина ценой введения произвольного масштаба.
Но из уравнения ренормгруппы мы знаем, что если изменить этот масштаб, то
с функциями Грина ничего не случится,
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория <р4_________167
поскольку их изменение компенсируется одновременным изменением
перенормированных параметров и по,ля. ЧтоОы не отрываться от реальности,
нам нужно представить функции Грина в пространстве Минковского.
Это достигается путем аналитического продолжения. Рассмотрим
евклидову функцию Грина, зависящую от импульсов р1...........pN ,
Прежде всего изменим все временные компоненты импульсов р, сделав их
мнимыми:
Р * (Р0* Р* ) - Р = (Ро " *Ро" Pi = Pi)-
Посмотрим,например, что случится с пропагатором. В соответствии со
сказанным выше произойдет замена
1 1 р2 + т2 - р2+т2>
так как мы используем метрику в пространстве Минковского g00 = ш ~§ц • +
1- Такая замена не совсем удовлетворительна, поскольку выражение,
полученное в пространстве Минковского, имеет полюс при р2 = т2, т.е. пои
Р0 - ±Vp2 + mi-
Процесс продолжения можно рассматривать как переход от мнимой к
действительной оси в плоскости р0, осуществляемый поворотом по часовой
стрелке; возможность такого перехода зависит от того, можно ли избежать
любого полюса...Отсюда следует, что полюса по Р0 следует считать лежащими
несколько ниже (выше) положительной (отрицательной) действительной оси,
т.е. продолжение происходит от 1/(р2 + т2) к - 1 / (р2 -т2 + i е), где е
> 0, а в конце всех вычислений нужно перейти к пределу при е -¦ 0+. В
более сложных случаях полюса следует выбирать так, чтобы они не мешали
вращению по часовой стрелке мнимой временной оси к действительной
временной оси. В этом (- i г ^предписании мы узнаем знакомый (см. выше)
способ сделать сходящимся интеграл по траекториям. Можно также сравнить
фейнмановские правила в пространствах Евклида и Минковского, скажем, для
теории <р4:
168
Глава 4
1
w+^~ (Евкл*)
(8.1)
(Минк.)
р2 ±-т2 + г:в
X- Л (Евкл.),
(8.2)
-г А (Минк.).
Рассмотрим фейнмановскую диаграмму с L петлями, V вершинами и I
внутренними линиями. Разница между вычислением такой диаграммы в
пространствах Евклида и Минковского будет заключаться в множителе -i для
каждой вершины и каждого пропагатора и в множителе i для каждой петли,
так как d4k = id*k. Кроме того, величина т2 в евклидовой функции Грина
