Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
как при регуляризации вводится некий масштаб либо через обрезание при
больших импульсах, либо через параметр а размерной регуляризации, а тем
самым нарушается инвариантность относительно дилатаций (см. по этому
поводу лекцию Коулмена
Кроме того, мы видим, что поведение функций Грина при измененных
значениях импульсов определяется функциями 7{s ) и m(s ), которыми, стало
быть, определяется и физика при больших масштабах.
Интересно исследовать поведение функций Грина при больших s .
Предположим, что в теории имеется ультрафиолетово-стабильная
фиксированная точка при значении А " Af. При больших масштабах величина А
будет смещаться к Аь . Следовательно, ут и yd будут сдвигаться к ym(Af) и
yd{Ap), так что решение уравнения (6.21)
ся в дифференциальное уравнение первого порядка по s ; в результате
получаем
^ d J
Г in)(sp; т, А, ц) = s пГ<п)(р; m(s ), A(s ), ц)е 1
(6.31)
[9]).
/ d Ins ym(h(s ))
s от (s ) = me
(6.32)
можно проинтегрировать, получив в результате
(6.33)
162
Глава 4
если только предположить, что интеграл определяется областью больших s.
Аналогичное предположение относительно интегрирования yd приводит к
формуле
r^nHsP> т> А, и) -* s ~nYd(^F) (п^(р; ms^m^ ^ ' ^F •
(6.34)
Таким образом, если величина 1 - ут(А^) положительна, то при больших
масштабах вообще можно пренебречь массой и, кроме того, действительно
yd(hp) появляется как аномальная размерность.
Как явствует из формулы (6.33), справедливость наивного предположения,
что массы выпадут из теории при больших масштабах, существенно зависит от
значения интеграла от аномальных размерностей, который мы запишем в виде
/ dr . (6.35)
А (З(Л')
Такая форма записи показывает, что если (3(A) и ут(А) не имеют
одновременно нулей, то наибольший вклад в интеграл будут давать
фиксированные точки, чем "отчасти" и подтверждается сделанное нами выше
предположение.
Если ультрафиолетово-стабильная точка находится при А^ л О (как в
калибровочных теориях), то тогда вообще нет проблем, поскольку поведение
теории при больших импульсах определяется теорией возмущений, т.е. ут(0)
= 0.
Можно проинтегрировать различные уравнения в теории Аф4, пользуясь
результатами, полученными для ут и yd в низшем порядке теории возмущений.
Это дает
m(s!) - ms ~*( Jjf.L)1/ 3 exp [_L------- - 1 (6.36)
Л ob 1 Ьтт
для зависящей от масштаба массы и
п X(sf - Л
Г'">(*р)~ 5 n-Ii ГёТ2 г'п,(р) (6.37)
для аномальной размерности. Эти результаты верны только при малых
масштабах масс, так как мы видели, что вычисленная по теории возму-
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у4
163
щений р-функция положительна, и поэтому по достижении некоторого масштаба
теория возмущений теряет применимость.
Задачи
А. Задав р (Л) * \х{д\/д\з), проанализируйте гипотетические теории
поля, в которых
1* $(кр) = Р'(Ьр) = 0,
2. р(Л^)"0, Х^^Хр+а/к, к "= 1, 2, . . . , ".
Б. Пусть
ОО Ь (Л) т20 "от2(!+ 2 ------) =m2Zm.
п = 1 ?
Покажите, что
1 <91n Zm db, (Л)
Ут м ;------------------- А
(9ц dX
db + - rfb. i rfb
'-7Г- -Ь^-Ж- +- Trl>w
Выведите формулу, связывающую Ьп> л+,с6,_ 2, если Ьп(Х)-Ьп>п^Хп+'+0(х2).
В. Пусть Фо = 9(1 + I )и = 9Z *.
п * 1 6 т
1 <91nZ <fc,
Покажите, что yrf(А) " _ ц______________ = - Л
д dX
ц
Й f* 4 1
Г. Убедитесь в правильности уравнения ренормгруппы в теории Лф4,
пользуясь результатами теории возмущений для р, у^и yd •
164
Глава 4
§ 7. Зависимость коэффициентов ренормгруппы от рецепта перенормировки
В предыдущем параграфе мы вычислили коэффициенты р и у в низшем
нетривиальном порядке по X, пользуясь не зависящим от массы рецептом
перенормировки "тХофта - Вайнберга. Исследуя их поведение, мы сделали
важные физические выводы. Внимательный читатель вправе задать вопрос, в
какой мере эти коэффициенты зависят от рецепта перенормировки. В случае
общего рецепта типа А или Б они будут, вообще говоря, зависеть от масс
через конечные части контрчленов.
Исходя из формул (5.37) - (5.39), дифференцированием по ц при
фиксированных голых параметрах находим
П О Г ^ 1 г / ^ 1 1 / ^ \
О * 2е L я + J + Ц--[о'+ __!_) + (-=-------- - ) х
0 е о е ц
(7.1)
X [ а + ------] + полюсы высших порядков,
и е
откуда выводим, что
" а . , ЗА2 . ЗА2
'sr ТК?С') + ТБ^ +
+ (7.2,
В этих формулах штрихом обозначено дифференцирование по Л, а точкой - по
mjц. Сравнивая с выражением (6.15), мы видим, что из-за С, возникла явная
зависимость от рецепта. В частности, мы замечаем, что зависимость от
рецепта возникает в низшем порядке из-за массы. При выводе уравнения
(7.2) становится очевидным, что члены порядка А3 в (7.2) зависят
непосредственно от G, без мультипликативных массовых факторов. Аналогично
можно показать, что
din т ,1 X lm X * .
' ~Г~ Т75=2 ^--Т?=2 ^i' +
d\i ~~2 1бтг2 4 р 1бтг2
1 X
~2 1 бтт 2
+ 6 f, + о(х3),
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория <р*
165
(7.4)
Полагаем е -" 0 и получаем окончательно
р(Л,ш,/и)= -
16тг2
+
Т~ -
3
771
(7.5)
ц
771
(7.6)
