Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
как на рис, 3, то величина \х{дХ/ф) положительна при А, немного меньших
А^., в связи с чем величина А смещается в сторону больших значений, т.е.
к фиксированной точке Хр ; когда же А дальше фиксированной точки Хр,
величина \±(дХ/ф), отрицательна, и при этом опять А смещается к AF, Таким
образом, с ростом ц константа А будет приближаться к А^. Такая
фиксированная точка называется ультрафиолетово-стабильной, поскольку А
асимптотически приближается к значению XF при ц -"¦", причем сверху или
снизу в зависимости от положения начальной точки А0, которая может быть
взята выше или
158
Глава 4
ниже Если бы существовала теория поля, в которой функция (3 вела себя
так, как показано на рис" 3, то на очень малых расстояниях константа Л
все больше приближалась бы к Хр, Если бы при этом величина ЛF была мала,
то это означало бы, что, начав с малых Л < Л^, мы никогда не выйдем из
области применимости теории возмущений! Если же мы начали бы о А >, Af,
то с уменьшением расстояния константа Л приближалась бы к области
применимости теории возмущений. Эти две возможные ситуации изображены на
рис. 4" Ни одна из теорий поля в четырех измерениях не обнаруживает
такого поведения в рамках теории возмущений (XF " I).
Точка Л = 0 является фиксированной точкой, в которой р '(0) > 0; это
означает, что выше этой точки величина ц(<9А/<9р) положительна и,
следовательно, константа А удаляется от этой точки при уменьшении
расстояния. Такая фиксированная точка называется инфракрасно-стабильной.
Заметим, наконец, что при малых А большинство теорий поля ведет себя
именно так, что функция (3 (Л) поначалу положительна.
3. Функция (Ь(Л) отрицательна при малых А, монотонно уменьшаясь по
величине. Это означает, что константа А монотонно уменьшается с ростом In
р. В этом случае приближение теории возмущений становится все лучше на
более коротких расстояниях, и А смещается к нулю, который в данном случае
оказывается ультрафиолетово-стабильной фиксированной точкой" Подобное
поведение константы связи при малых Л обнаруживается в калибровочных
теориях в четырех измерениях - явление, известное под названием
асимптотической свободы. Мы детально остановимся на этом явлении при
изучении калибровочных теорий.
Рис.4.
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория уИ
159
Р и с . 5.
4. Функция (3 (Л) сначала отрицательна, затем проходит через минимум и
становится положительной, пересекая ось в точке Л/г (рис. 5).
В данном случае р '(Л/г) > 0 и Л/г - инфракрасно-стабильная фиксированная
точка- Это означает, что если при некотором ц0 мы имеем Л0 < Л/-, то Л
будет смещаться к нулю, но если Л0 > Л/г, то она будет смещаться от Л^ в
сторону больших значений (рис- 6).
Взяв за исходное выражение (5-41), в котором *>0 = 1 и не зависят от т/
|з, можно найти зависимость массы от нетрудно получить соотношение
дт
db^ (Л)
2 1
= 2Хт ~Гк~' 0ТКУдагт(М = Л-^;
(6.20), (6.21)
что в теории Лф4 = Л
приводит к выражению 7 , Л
1бтг2
12
-(
16тт2
-)2 + 0(Л3)-
(6.22)
Мы можем вывести также рекуррентную формулу для вычетов в полю-
Р ис .6.
160
Глава 4
сах более высокого порядка:
db l + , db . db к j
k d-x-jp-KWi*-!."......
(6.23)
Наконец, из определения функции Z в котором с 0 = 1 и с к не зависят от
т/ ц, можно вывести уравнение
nJL_lnZ =-2Л , (6.24)
о ц Y аК
<1сЛ
откуда yd(A) = - А -- , (6.25)
о Л
так что в теории Аф4
У</(А) = +0<*3Ь <6'26)
Коэффициенты ск в свою очередь удовлетворяют соотношению dc д. + , dc
, а!а , dc
И", -A -=-) -л . 1- 2---
<7 A d A tK dK
(6.27)
Приведенные рекуррентные соотношения позволяют вычислять вычеты в полюсах
более высокого порядка, исходя из вычетов в простых полюсах. В этом и
состоит ценность изложенной процедуры: если теория перенормируема, то
многие коэффициенты можно вычислить косвенным путем без помощи
фейнмановских диаграмм.
Пользуясь рассмотренным не зависящим от масс рецептом перенормировки >т
Хофта - Вайнберга, легко проинтегрировать уравнение ренормгруппы, так как
коэффициенты утратили зависимость от т. Теперь уравнение имеет вид
i- s I- + р(А)_А_ J- fу ('А) - + d -nyd{K)\ х
os дЛ от
xr|n*(sp; т, д, и) = 0. (6.28)
Введем зависящие от масштаба переменные A(s) и m(s ) в соответствии с
равенствами
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у4
161
- " P(A(s ))> A(s = 1) = А,
ds
(6.29)
- = m(s )[ym(A(s )) - 1], m(s * 1) = от.
(6.30)
Тогда уравнение (6.28) легко интегрируется, так как оно превращает-
Из этого равенства явствует несколько неожиданное масштабное
преобразование функций Грина при изменении масштаба внешних импульсов:
константа связи и масса преобразуются нетривиальным образом, а функции
Грина наряду с естественной размерностью d обнаруживают еще и аномальную
размерность yd для каждого внешнего хвоста.
Допустим, что с самого начала мы приняли от * 0. Тогда классическая
теория была бы инвариантной по отношению к дилатациям (и конформным
преобразованиям, гл. 1). Но в квантовой теории это не выполняется, так
