Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
считая при этом, что амплитуды хорошо себя ведут при р -юс. Отсюда и
вытекает независимость от масс. И действительно, в рецептах ,А и Б
зависимость от массы обусловлена только конечной частью контрчленов.
Такое колоссальное упрощение позволяет непосредственно вычислить
коэффици-
Ff = F* - G(r) = = 0 и т.д.
(6.9)
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у4__________155
енты р, у и ут, входящие в (5"36)" Например, мы можем теперь написать
ОО О L (Л )
А0 ."*[*+ 2 ]. (6.10)
к= 1 =
Дифференцируя по ц при фиксированном А0, получаем
0.2,," ¦ >*,. <1 ¦ 1 ,0Л"
к= 1 € 5ц fe=1 Efc
где штрихом обозначено дифференцирование по А" В этой формуле Л и
цДЭА/5ц) - функции, аналитические при е = 0" Отсюда вытекает, что
И Jh- = - 2еЛ - 2а,(А) - 2Ла ' (Л), (6"12)
5ц
или, в пределе при е -" 0,
Р (А) = lim ц * - 2 (1 *- Л -^- )а , (Л), (6.13)
Тово р-функция, входящая в "уравнение ренормгруппы", зависит только от Л
и определяется вычетом в простом полюсе по е. С уч етом уравнения (6Л2) и
того обстоятельства, что вычеты в разных полюсах по е должны обращаться в
нуль в выражении (6Л1), находим
(1 -A_JLk+1(A)= а'(А)(1-А-^_)а,(А), (6.14)
Смысл уравнения (6Л2) ясен: успешная перенормировка означает, что голая
константа связи не зависит от ц, так как изменение величины ц
сопровождается таким изменением Л, что соотношение (6Л0) не меняется,,
Вычислим теперь р в теории возмущений, Пользуясь формулой (5о43),
получаем
н
5 А ЗА2
5ц
тб^г+0(А3К (6Л5)
Пренебрегая членами 0(А3), можно без труда проинтегрировать (6Л5), так
что в результате имеем
А = А _____________________I______________ , (6.16)
3 1 " "КБР Л0 Ми/Но)
156
Глава 4
где Л0 - значение величины X в точке р0"
Из формулы (6о 15) видно, что X растет с ростом ць Таким образом, если мы
начнем с малого значения Х0(" 1) при заданном масштабе ц0, то эффективная
константа связи с ростом ц будет расти"
Но при этом мы будем иметь дело со все большими X и рано или поздно
выйдем за область применимости теории возмущений X " 1, или, точнее,
(3/16тг2)Л01пц/ц0 " 1 Поэтому на более коротких расстояниях мы должны
добавить члены более высокого порядка в правую часть равенства (6Л5) >
Итак, в теории Хц>* теория возмущений становится все более применимой на
больших расстояниях, т.е. в той области, где проявляются
дальнодействующие свойства взаимодействия; следовательно, можно доверять
определению асимптотических состояний, основанному на теории возмущений.
Если бы в теории поля обнаружилось, что правая часть равенства (6.15)
отрицательна, то это означало бы, что способ, основанный на теории
возмущений, не пригоден для определения асимптотических состояний, но
очень хорош для определения поведения на малых расстояниях.
Далее мы увидим, что так обстоит депо в квантовой хромодинамике (КХД),
которая описывает взаимодействие между кварками. Кварки позволяют
правильно описать короткодействующее взаимодействие двух протонов, но они
не являются асимптотическими состояниями, а лишь входят как составные
части в асимптотические состояния, подобные протону.
Отметим, что полученное здесь выражение для (3 (Л) совпадает с тем,
которое было получено при вычислении детерминантов методом ^-функндй.
Этому не следует удивляться, поскольку точность предыдущего метода была
равна 0(h), а здесь мы получили лишь результат, связанный с однопетлевым
приближением, точность которого тоже равна 0(h).
Посмотрим теперь, отвлекаясь от теории возмущений, какой может быть форма
зависимости X от ц. Прежде всего заметим, что если fj (X) дается формулой
(6.15) даже при больших Л, то эта функция обратится в бесконечность при
масштабе
М = Ц0ехр[_^1_], (6.17)
JAo
очень большом, если исходное значение Л0 мало. Эта точка называется
точкой Ландау, ибо оно обнаружил подобную закономерность в КЭД. Однако
нет никаких оснований считать, что выражение для однопетле-
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория И 157
вого вклада в р справедливо при больших Л, Мы не знаем, как вычислить р
при больших Л, но рассмотрим несколько возможных вариантов поведения р,
начав с р = 0 при Л = 0, т,е " с точки без взаимодействия.
1о Функция р (Л) остается положительной при больших Л; тогда Л продолжает
расти с ростом масштаба, описывая выпуклую или вогнутую кривую в
зависимости от знака р ' (Л). Если р (Л) обращается в бесконечность при
некотором значении Л, то и сама константа Л становится в этой точке
бесконечной (точка Ландау).
2о Функция р(А) сначала положительна при малых А, а затем проходит через
максимум и становится отрицательной, пересекая ось в точке XF:
P(Af) = 0 (6.18)
(рис- 3)о Точка XF называется фиксированной точкой, так как если по
каким-то причинам константа была первоначально равна XF, то она и
остается в этой точке. Можно проанализировать поведение константы А
вблизи AF, разложив р вблизи Хр, что приводит к уравнению
м _|L =(A-Af)p'(X/r) + ... . (6.19)
ф
Мы видим, что все зависит от знака производной р '(А^)" Если Р '(Ар) < 0,
