Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда вытекает, что конечную часть контрчленов можно фиксировать, только
определив параметры, входящие в ?" Однако способ определения т, Л и 9
содержит много произвола, и он выбирается либо из соображений удобства,
либо с учетом требований сходимости теории возмущений"
В некоторых случаях можно непосредственно связать перенормированные
параметры с физически измеримыми величинами" Именно так обстоит дело в
КЭД, где физический электрический заряд приравнивается значению вершинной
функции в томсоновском пределе"
Конкретное задание масштаба путем приравнивания перенормированных
параметров соответствующим функциям Грина в значительной степени
произвольно (в евклидовом пространстве); есть лишь одно важное
ограничение в случае теорий, включающих безмассовые частицы" Такие теории
приводят к инфракрасно-расходящимся функциям Грина при нулевых значениях
входных импульсов" Было бы неразумно выбирать точку вычитания при том
значении масштаба, при котором функция Грина расходится" Подобных точек
следует избегать" Позже, когда амплитуда будет продолжаться в
пространство Минковского, масштаб вычитания проявится при
пространственно-подобных значениях входных импульсов и не будет оказывать
влияния на те сингулярности, которые функции Грина должны иметь и имеют
для того, чтобы они были амплитудами перехода" Такие сингулярности
возникают в физической области, где по меньшей мере некоторые из
импульсов всегда времениподобны.
Приведем несколько примеров вычитаний, называемых иначе рецептами
перенормировки"
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у>4_________153
А- Это чаще всего применяемый рецепт фиксации параметров-Мы определяем
входные параметры равенствами
Г (2,(р> тА) = р2 + т% при р2 = 0 , (6-2)
Г^р,, р2, Рз, р4) = -"2еЛА прир,--О- (6-3)
В отсутствие инфракрасных расходимостей, возникающих при т2 = О, такой
рецепт хорошо определен- Чтобы подчеркнуть способ, которым определены
входные параметры, мы приписали им соответствующий индекс- Отметим, что
(6-2) содержит два условия, так как это равенство фиксирует не только
массу, но и нормировку поля- Приведенными условиями фиксируется конечная
часть контрчленов- В частности, мы находим, что
F^= у(2) - lnm^ ; G^ =• ip(l) - In m/4 ; Н^2 = 0 и т-Д- (6-4)
В идеале было бы более предпочтительным отождествить константу связи с Г
(4) в физической точке, где частицы находятся в пространстве Минковского
на своих массовых поверхностях (р^ = т2)~
Б- Можно по желанию изменить точку вычитания, лишь бы это не оказывало
влияния на продолжение в пространство Минковского или на инфракрасные
сингулярности- Добавим, что коль скоро вычи-тательная процедура
осуществляется над евклидовыми функциями Грина, она приводит к
пространственно-подобному вычитанию в пространстве Минковского- Таким
образом, наш второй ре"епт [6] аналогичен рецепту А, но проводится при
произвольном значении р:
г (2(р" ть) = Р2 + тБ ПРИ Р2 * ^2>
Г(4,(р,, Р2* Рз" Р4) " - ^ ЛБ ПРИР"Р/ =w2<5i/ -1/4), (6-6)
причем последняя точка выбрана так, что s = t = и = М2. Конечно, можно
выбрать любые значения величин s, t, и и любое значение Р2, при котором
нормируется Г,2> - Неизвестные функции в этом рецепте фиксированы и равны
= vp(2) - Lnm§ ; 0 ;
154
Глава 4
т Ч*(1) " lnmi - f dx In [ 1 + _iL- ж(1 - ж)] и Т.Д.
(r) т. ь.
о "Б
(6.8)
В данном случае масштаб ц полностью устраняется и заменяется масштабом М
2, который в равной степени произволен. Ясно, что теперь при выборе М
существенным становится численное значение
Недостатком такого рецепта перенормировки является то, что уравнение
ренормгруппы из предыдущего параграфа трудно решить где-либо, кроме
глубокоевклидовой области, в которой, по-видимому, можно пренебречь всеми
массами. Все же приравнивание константы связи значению амплитуды при
некотором масштабе имеет определенную привлекательность с физической
точки зрения, даже если такое сравнение имеет место в нефизической точке.
Дело в том, что при этом в вычисления явно включаются массы и можно
непосредственно идентифицировать разные физические пороги.
В. Очень красивый рецепт предложен 'т Хофтом [ 7] и Вайнбер-гом [8].
Он весьма просто формулируется и позволяет без труда найти решение
"уравнения ренормгруппы" (5.36) из предыдущего параграфа. Рецепт состоит
в том, что просто все конечные части контрчленов полагают равными нулю
последовательно в каждом порядке А, т.е. принимают
Тогда, сравнивая с выражениями (5.40) - (5.46) предыдущего параграфа, мы
замечаем, что все коэффициенты а, Ь, с не зависят от пи Такой рецепт
называется " не зависящей от массы" перенормировкой. Независимость от
массы сохраняется вплоть до произвольно высокого порядка; эвристически
это нетрудно объяснить следующим образом. Когда у контрчленов нет
конечной части, они имеют лишь ту " голую скелетную" структуру, которая
нужна для компенсации бесконечностей на очень малых расстояниях, но там,
при бесконечных импульсах, всеми массами, по-видимому, можно пренебречь,
