Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
{п - 2), которую можно понимать как суммарную степень однородности
функции Г по ее размерному параметру, т.е.
1 Ц - + 5 -^------- + т -- - [ 4 - п + ? (п - 2)]! х
dp ds dm
х r(n|(sp; m, Л, ц, e) = 0 , (5,35)
где мы ввели масштаб s для импульсов. Это уравнение в сочетании с
(5.31) можно, исключив pd/dp, превратить в уравнение, описывающее
масштабные свойства Г (п'. Переходя к пределу при е -¦ 0, получаем
д + Р (А , --) - + trm(A , --) - Ил" д
ds р dA р dm
- nyd (А , _!!L) + 4 - п! Г {п * (s р, т, А, р) = 0 . (5.36)
Ц
В выписанном уравнении суммировано поведение Г {п 1 при изменении
масштаба входящих в Г1"1 импульсов. (Впервые уравнение подобного типа для
КЭД было получено Гелл-Манном и Jloy [ 3] ,)Если бы мы могли его решить,
то узнали бы, как функции Грина при значениях импульсов sp связаны с теми
же функциями при некоторых исходных значениях р. Трудность решения
уравнения (5.36) связана с тем, что коэффициенты Р > Yd и Ут зависят от
двух переменных Аит/р. Эти коэффициенты можно вычислить явно в каждом
порядке теории возмущений, но в данный момент они совершенно произвольны,
поскольку мы еще не установили, чему равны конечные части контрчленов.
Это будет сделано в
150
Глава 4
следующем параграфе, где будут исследованы различные "рецепты
перенормировки" " Сейчас отметим лишь, что указанные коэффициенты зависят
от способа выбора конечных частей контрчленов"
Голые параметры можно представить в виде рядов Лорана по
перенормированным параметрам:
, т
А0 = м2е("0(Л - ,0+ 2- *-----), (5.37)
Ц к= 1
0W(b0(X, J2_,e)+ 2 TF ). (5^38>
к = 1 6
С*(А, - )
r*-M-
(5" 39)
где а 0, Ъ 0, и с 0 аналитичны при е -> 0" Сравнивая с уже вычисленными с
точностью 0{А2) контрчленами, находим
oQ (А , m/ц , е) = А(1 + -_- A G^) + 0(к3), (5"40)
Ь 0(Х у т/щ, е)- 1+_J_(AF, +{%)+Х2Н2 + 0(Х3), (5.41)
с 0(А, т/р, 6) = 1 - А2#2(? > т/ц) + 0(А3)> (5"42)
о, (А , т/ р) = - А2/ 1 бтг2 + 0(А3), (5.43)
Ь,(А,^р) = -[А + А2/4(jF, + 3G, - 1)] + Л2/24 + 0(А3), (5.44)
Ь 2(Х , т/ р) = -1- Л2 + 0(А3), (5.45)
с ,(Х , т/р) = - Л2/24 + 0(А3)" (5.46)
Заметим, что в этих формулах коэффициенты а, Ь и с зависят от щ/р только
через неизвестные функции F v f G,, Н2 .Эвристически э то можно объяснить
следующим образом. Контрчлены исполь-
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория <рА
151
зуются для исключения тех расходимостей, которые возникают при очень
больших масштабах импульсов (масс). Поэтому любой фиксированный массовый
параметр не должен играть никакой роли. Следовательно, до тех пор пока
последовательно в каждом порядке теории возмущений контрчлены не имеют
конечной части, вычеты в их полюсах не должны зависеть от т. Именно это и
отражают формулы (5.40) - (5.46). Сказанное лежит в основе независящего
от масс рецепта перенормировки, на котором мы остановимся в следующем
параграфе. В зависимости коэффициентов от произвольных конечных частей
контрчленов отражается зависимость |3- и у-функций от выбранного априори
рецепта. Отсюда вытекает, что не следует пытаться найти решение уравнения
ренормгруппы (5.31) до тех пор, пока не выбран рецепт перенормировки.
Техническая трудность при нахождении решений связана с тем, что
коэффициенты зависят одновременно от Л и m/ц. Но, как мы увидим,
существует рецепт, при котором коэффициенты становятся не зависящими от
масс, что чрезвычайно облегчает решение уравнения (5.31). Иначе
приходится решать (5.31) в области, где можно пренебречь массами, т.е.
там, где импульсы велики по сравнению с исходными массовыми параметрами.
В заключ ение заметим, что можно вывести и другой тип уравнения
ренормгруппы, полученный впервые Калланом [4] и Симанчиком [ 5]. В
уравнении этого типа изучается изменение функций Г в зависимости от
физической массы. Коэффициенты (5 и у зависят только от Л; члены сути
\хд/ д\х вообще отсутствуют, а вместо них имеется неоднородный член,
которым можно пренебречь в пределе малых масс или, что то же, больших
импульсов.
Задачи
А. Рассчитайте вклад дополнительных контрчленных диаграмм
(5.12) и (5.13) с учетом конечных частей.
Б. Покажите, что с точностью 0(Л2) сам пропагатор конечен. Указание:
пропагатор содержит одночастич но-приводимые диаграммы.
* *В. Покажите, что в теории Л<р3 перекрывающиеся расходимости от
диаграммы ф в действительности компенсируются контрчленной Диаграммой,
регуляризующей однопетлевую диаграмму
152
Глава 4
§ 6. Рецепты перенормировки
В предыдущем параграфе мы детально осуществили процедуру перенормировки в
теории Л<р4" Исключение расходимостей привело, помимо произвольного
масштаба ц, к дополнительному произволу, отраженному в функциях F2i g,,
Н2, . . ., составляющих конечную часть контрчленов. Из структуры того
лагранжиана, который приводит к конечным результатам,
^ - * * ?"он,р • <6-1)
явствует, что конечная часть ?контр может быть устранена переопределением
(или конечной перенормировкой) исходных начальных параметров,
содержащихся в ?, поскольку <? и ?контр имеют одинаковую структуру"
