Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
правилами для контрчленов к указанной диаграмме следует добавить три
контрчленные диаграммы
Здесь каждая линия -представляет контрчленную вершину низшего порядка,
необходимую для сокращения бесконечности, возникающей в однопетлевой
диаграмме. Поэтому такие контрчленные диаграммы будут содержать член 1/е,
проистекающий от вклада диаграммы
-•- , умноженный на 1пр2, где р - некоторый импульс, возни-
кающий при интегрировании по петле, Следовательно, все это будет
выглядеть так, будто указанные члены порождают в лагранжиане контрчлены
вида 1пр2/е, которые не соответствуют никакому члену в ?, так как вычет
Inp2 чрезвычайно нелокален в координатном пространстве. Подобные члены -
это ложка дегтя в бочке меда. В этом заключается знаменитая проблема
перекрывающихся расходимостей. Внимательное изучение приведенных диаграмм
показывает, что сумма всех диаграмм не содержит никаких полюсов с
логарифмическим вычетом: они сокращаются с соответствующими полюсами,
содержащимися в двухпетлевой диаграмме. Мы на самом деле видели пример
этого чуда, когда члены с lnm2 сократились с вычетом простого полюса в
формуле (5.16). (Подробнее см. в работе [ 1],) Критическим пунктом при
доказательстве перенормируемости является возможность .доказать, что эти
перекрывающиеся расходимости действительно сокращаются.
Предположим, что все это так и есть и что для обеспечения конечности
теории в произвольном порядке по Л нужны только такие контрчлены, которые
соответствуют исходному лагранжиану ?. Это означает.
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория
147
что тот лагранжиан, который приводит к конечным ответам, имеет вид
?Л8Р-? + !гко"тр. (5.21)
где ? - наш исходный лагранжиан,
? "V + -?r-H2V. (5.22)
а ^контр *" лагранжиан контрчленов,
?контр --J-^^мФ^цФ + \~т2в<Р2 + -jj- и>2*Сф4. (5-23)
Он имеет (по предположению, которое проверено в порядке О (К2)) в
точности тот же вид, что и ?, но со специально подобранными А, В к С, так
что функции Грина, порождаемые ;лагранжианом ?П0Р, конечны при е -* 0 о
Определив новые поля и параметры, можно переписать ?пеР в виде
^пер " ~г~<?цФо <?цфо + "т~ т2° ф° + ""4Г- ф° ' ^5'24^
где ф0 = (1 + А),/'<р = Zy ф, (5.25)
т\ = т2 111- * тЧ 1 + B)Z~', (5.26)
1 + А *
*" ¦ TTW ¦ л"!,(1 + C)ZZ <5-И)
так называемые г олие поле, масса и константа связи. Заметим, что ?П0Р
выглядит совершенно так же, как ?, если не считать обозначений параметров
и поля. В то же время Ln0P приводит к конечной теории, а ? - нет. Это
показывает, что, хитроумно запрягав все бесконечности в ф0> и Л0, мы
можем сделать теорию конечной. После этого бесконечности поглощаются
перенормировкой. Все голые величины расходятся при в -* О, тогда как
(перенормированные) величины тпри е -* 0 принимают конечные (но
произвольные) значения. Последние следует отождествить с физи-
148
Глава 4
ческими параметрами теории, В подходе, основанном на интеграле по
траекториям, производится интегрирование по полям; отсюда можно убрать
изменение масштаба полей в множитель Z , если одновременно
соответствующим образом изменить масштаб источника, определив голый
источник
/0 - ZJ4 (5.28)
или голое классическое поле
'Ркло " ^<рФкл • (5.29)
Взяв за исходный новый лагранжиан (5.21), мы получим функции Грина
предыдущего параграфа, в которых тиА заменены величинами т0 иА0. Но
выразив голые параметры через физические параметры от и Л и подходящим
образом перенормировав ] , мы получим конечные функши Грина. В случае
ОЧН-функций Грина это равенство имеет вид
Мр 1" • • • > Рп> ^о" то> ?) = Г 1 Чр 1, ..., р"; Л, щ ц, е ),
(5.30)
/-ЧГ
где Г (п' - функции, конечные при е -> 0. В этом равенстве можно либо
рассматривать голые параметры как функции перенормированных, либо считать
голые параметры независимыми переменными; в последнем случае одетые
параметры являются функциями голых. 3 аметим теперь, что левая часть
равенства (5,30) не зависит от ц, тогда как правая явно, а также и неявно
(через Лит) зависит от ц. Поэтому, дифференцируя обе части равенства
(5.30) по ц, мы получим дифференциальное уравнение, отражающее всю магию
перенормировки1):
, д ^ dh д ' дт д п <?ln Z- СГщ) п
<Ц-ЗГ ц-гпг- + ц-аг-яг "0'
(5.31)
Красота этого уравнения в том, что оно содержит только перенормированные
функции Грина Г ("4 которые конечны при е -> 0. Различные производные
возникают вследствие неявной зависимости Г ^ от ц
1)Эго уравнение, отражающее групповой характер конечных перенормировок
функций Грина, отвечающих различным рецептам перенормировки, называется
уравнением ренормапизационной группы (ренормгруппы). - Прим. перев.
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у4 149
через Лита Определим коэффициенты
_dA dp
р (Л, - , е) = р 4- . (5-32)
Yd(k, J?L,e)^-1_p ,d\Zl , (5.33)
М 2 dp*
i-\ hi . 1 din hi •_ n .I
Ym(k , -----, ?) = __ ц -------- , (5.34)
p L dp
Они аналитичны при e -> О, безразмерны и зависят только от А и т/р, С
другой стороны, Г (n| по построению имеет размерность, равную 4 - п + е
