Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 44

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 98 >> Следующая

--произвольная безразмерная функция, аналитическая при е -¦ 0; наличие
этой функции отражает произвольность самой процедуры. Дополнительный член
приводит к новому фейнмановскому правилу, изображаемому следующим
образом:
1 1
т
M-+F,). (5.4)
2 ?
Поэтому если мы вычисляем обратный пропагатор в порядке О (Л), то
О =---------------------- + -О- + -*- + 0(Л2),
^ноУ (р) • р2 + "2[ 1 - -1- A(ip(2) - Inm2 - F,)] + 0(KZ) (5.5)
(следует помнить, что поправка к обратному пропагатору при обращении
приобретает знак минус). Эта весьма наивная процедура делает теорию
конечной в порядке Л. Дополнительный член (5.3) называется контрчленом.
Чрезвычайно важно то,, что его зависимость от поля (и производных поля)
такая же, как и у члена, уже имеющегося в лагранжиане ?
(в данном случае массового члена).
Переходим к порядку Л2. Одночастично-неприводимая (ОЧН) четы-
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у4
143
рехточечная функция дается диаграммами г 4 г 4 г и г->г-* 2
X-X-R-Q-
1 3 1 3 1 3 1
4
+ 0(Хг),
Г$.Р2> р 3. Р4" + у(1) + 2 - In m2 -
1
<4(s, t, u) + 0(е))ЬО(Л3),
(5.6)
где A(s, t,u) ** Z (1
2-5, U
t -JUL.)" 1. ,5.7)
г yl + 4inVz - 1
m s, t, u - мандельстамовские переменные:
5 * (?i + Рг)2' ^ - (?i + Рз)2" M " (Pi + Рд)2,
(5.8)
В том виде, как она написана, функция Г*4* расходится при е -" 0. Чтобы
исправить положение, добавим еще один член к ?:
1
4!
26 л ЗЛ г 1
[---------- + G,(e, ?г2)]<р4"
(5.9)
где G, - произвольная безразмерная функция переменной 6, аналитическая
при е -¦ 0. Этот новый контрчлен приводит к дополнительному
фейнмановскому правилу, изображаемому в виде
х--
^------ м26^А( _i- + G,].
(5.10)
Он добавляется при вычислении новой функции Г(4*, приводя при е -" 0 к
конечному результату:
т~ -X* ioi * Q+[)>с* X ¦
* - й2е Л{ 1 - _Х[- Gj + цД1) + 2 - In /га2 -
Л(", i, ы)]1 н- 0(Л3). (5.11)
144
Глава 4
Аналогично можно вычислить вклад в Г(2' порядка 0(Л2), но здесь уже нужно
использовать дополнительные фейнмановские правила (5.4) и (5.10). В
диаграммном представлении для обратного пропагатора получим
-Щ- = ------------- + Q + -X- +
. _8_. _й_ * -О- *-е-,
где дополнительные фейнмановские правила привели в данном порядке к двум
новым диаграммам. Они легко вычисляются (см. задачу). Оказывается, что
- ?>- - -J- + -j- М1) + F, -1пот2] + . . - !, (5.13)
где мы показали только полюса по е; кроме того,
-Q- -¦ ---- Л21 -j- + -1- [tp>(2) + Gy -Inот2] + • " • 1, (5.14)
Сравнивая с диаграммой " двойной ковш" из предыдущего параграфа
8* ~ - Л2! Л.. + -?- [ф(2) + у(1) - 2 In от2] + • • *1"
- 4 62 е
(5.15)
замечаем, что двойной полюс в последнем выражении в точности сокращается
с контрчленной диаграммой (5.13), хотя простой полюс остается. Это
явствует из диаграмм, поскольку сумма -Q- + -*- по определению конечна.
Складывая все диаграммы, находим
Л
Л 2 "2 1
_______ а - Л п2 + т Т.2Г +
-Wp 1 L-TT"
+ (F, + 3G, - 1) + . . .1 + 0(Л2), (5.16)
где опять не выписана конечная часть. И вновь мы сталкиваемся с
расходящимся выражением при ? -* 0. Но, о чудо! Члены с In от2,
присутствующие при простых полюсах отдельных диаграмм, исчезли, так же
как и эйлеровская постоянная, содержащаяся в каждой функции
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория ф*
145
у(л), но отсутствующая в разности
(5.17)
П
Чтобы сократить полюса в (5.16), мы вводим новый массовый контрчлен, так
что фейнмановское правило для массового контрчлена принимает вид
е -" 0. Этот член порождается добавочным контрчленов в лагранжиане
Он отвечает только за один тип бесконечностей в Г*2*. Другой тип
бесконечностей сокращается путем добавления к нашему все разрастающемуся
лагранжиану еще одного члена
где Н - произвольная функция, аналитическая при е -" 0. Таким образом,
проделав'все это, мы получаем возможность устранить ультрафиолетовые
расходимости в порядке X2. Ясно, что такую игру можно продолжать, пока не
надоест: вычисляем диаграммы порядка X3, пользуясь исходным лагранжианом
? и контрчленами (5.19) и (5.20); затем вводим новые контрчлены, которые
выбраны с точностью 0(Х2) так, чтобы сократить новые расходимости, и т.д.
До сих пор примечательным в этом процессе было то, что все необходимые
для устранения расходимостей контрчлены порождали новые взаимодействия
того же типа, как и те, которые уже содержатся в исходном лагранжиане;
нам не пришлось [с точностью 0(Л2)] вводить контрчлены, соответствующие
членам отсутствующего в ? типа. Если бы удалось показать, что столь
примечательное соответствие сохраняется во всех порядках
+ _L_ [л + -AL (F1 + ЗС, - 1)1 + X2F2 + AF,}.
(5.19)
2
1
(5.20)
146
Глава 4
по А, то мы сказали бы, что теория перенормируема"_Мы не будем здесь
пытаться доказать это для теории Лер4, а лишь укажем на то место, где вся
процедура может оказаться несостоятельной.
Рассмотрим типичную двухпетлевую диаграмму
в которой удалены все внешние хвосты. Из-за различных петлевых
интегрирований эта диаграмма расходится. В соответствии с нашими новыми
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed