Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
(см. работы [1, 2]).
После явного дифференцирования получаем
2(р) - - ----1------------ (2)4 -2СО r d2c*l d2c°q
(2со - 3) 6 (2тг)2со (2^)200 х
Зт + р-(р + Я -I)
(q2 + ш2)^2 + m2)([q -I + р]2 + т2)2
1 т 2
1 Л - 2\4 - 2СО Г Q-.2
(4.22)
(ц )4 -2с° [ЗпгХ(р) + р К (р)], (4.23
2со- 3 R и г м Ц
к<р) = /_ d2a>l ___________1______________________________________
(2тт)2" (2tt)2w (92im2)(/2tm2)[(9_/ +p)2+m2]-'
d2col d2u>q (Р + 9-Пу
(4.24)
_ ц
2<a
K(P) = /JL_ J i __ _
(2тг)2" (2тт)2" (92 + ^2Ш2 + ш2)[(9-г +p)2 + m2]2 '
(4.25)
причем по ходу вычислений мы не задумываясь произвели несколько линейных
замен переменных в импульсах в петлях. Теперь видно, что Кц(р) расходится
логарифмически, а Кц(р) - линейно. Вычислим сначала К( р).
Введем фейнмановские параметры сначала для одной петли, начав с сильнее
расходящейся. Получим
K(P) = fJ2.2 f ^q 1
(2тт)2" J-------------------------
(2тт)2" (?2 + ^)2
1
х fdx
о [^2+-1^,+ (р+-9)2ж(1_*)]2' (4.26)
Пользуясь формулой (Б.16), интегрируем по I, что дает
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у4 139
Г (2 - со) !, f d2aq 1
(4тт)" (2тг)2" (q2 + m2)2
1
х
т m r
1 (4.27)
[m2 + (p + д)2зс(1 - 3c)I2 -co Вновь используя формулу (4.8), перепишем
выражение в виде
г /А \ t 1
к(р) - [*(1 " '2 1*уу' ~"(1 ~ rit-щЬг
х [92 + р2у(1 - у) + т2(1 - У + )f - ". (4.28)
ас(1 - ас)
Наконец, интегрирование по q дает
К(Р1--/ dx [ас(1 -х)Т~2 f dyy1 ""(I _.у) х
(4тг)2
О
х [р2у(1 - у) + ш2(1 -у + _2-------- )]2" " \ (4.29)
ас(1 - х)
Для удобства введем величину 2 - СО = ?
(которая положительна из-за аналитического продолжения) и разложим
(4.29) вблизи е " 0, Интеграл по параметру имеет полюс при е = 0,
возникающий от точки у - 0, Напишем
vi \ Г(2е) ' 1
к{р) т (4^7-~2" ldx ?*0 -*)!"1 о^гу-1 6 0 " У) х
х [р2у(* ~ у) + т2( 1 - у + У П-2Е. (4,31)
ас(1 - ас)
Пользуясь соотношением
y-1 + t-J ?_ " (4.32)
Е <(у
140
Глава 4
и интегрируя по частям, находим
* "ТГТГ=Т" ---*)"* fdy у' х (4тг)4 21 е о о
х {1 + 2е (1 - у) - In [р2у0 ~ у) + т?( 1 - у + -.У..- )Jj х dy Ж(1
_ Л
х [Р2у( 1 - у) + и2(1 _ у + _JL_)]-2e. (4.33)
х(1 - х)
Теперь уже можно взять интеграл по параметру, разлагая вблизи 6=0.
Вычисление К производится аналогично и приводит к выражению
РЛ - Р2(4-^ТГ/ dx[x{\ - х)]~* fdy у6(1 - у) [р2у(1 -у) +
+ я?(1-у+ У -)Г2е* (4.34)
х(1 - х)
В данном случае интеграл по параметру сходится, так что сингулярноси по
р2 сводится только к простому полюсу.
Разложение вблизи е = 0 дает
К{р) -лтг-гГ - ! 1 + s ~ 2е lnml * 0{е 2)1 ' (4,35>
(4тг)
РА<Р>-р! tT- + 0(,)I- <4'36)
Члены 0(е 2) и 0(е ) в интеграле по параметру для К(р) и р Кц(р) очень
сложны и дают вклад в конечную часть 1(р).
Собирая все результаты вместе, находим
2(р) = - -^ г 3,71 Зт2 3 п\х1 4пр2 w
бОбтг2)2 +--------( -у- + y(l) + ln- -mT- ) +
' --p2 + конечная часть ]. (4.37)
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у4__________141
Заметим, что теперь уже произвол возник и на уровне простого полюса (так
же как и в конечной части).
Конечную часть функции Z(p) вычислить очень трудно. Это невозможно
сделать в замкнутой форме, и приходится вводить "дилогарифм" (или функцию
Спенса), определяемый как
U2(x) н - } JL- ln(l - xt), (4.38)
о t
Опыт показывает, что,когда присутствуют массы, вычисление конечных частей
двухпетлевых диаграмм требует очень длинных выкладок.
Задачи
A.Покажите, что при о > О
/ (о) = f (/xln[ 1 + -х{\ - ж)] "¦ 2 + VI + о 1 п .и---.
о о V1 +а -1
*Б" Положите теперь г " 4/р. Найдите структуру сингулярностей функции /
(г) в комплексной г-плоскости и установите вид / (г) при действительных
г.
B. Найдите вид конечной части функции 1(р) при т2 = 0.
Г. Выведите выражение для рх {формула (4.34)].
**Д .Найдите К(р) в порядке е 2 и вкразите получившиеся интегралы через
дилогарифмы.
§ 5. Перенормировка
В предыдущих параграфах мы показали, как вычислять фейнмановские
интегралы. Мы установили, что в теории Aq>4 некоторые диаграммы имеют
ультрафиолетовые расходимости, причем расходимости появляются только в
двух- и четырехточечных функциях Грина (примитивно расходящиеся
диаграммы). Когда к этим диаграммам была применена размерная
регуляризация, бесконечности свелись к полюсам по переменной е =. 2 - п/2
> 0 в комплексной плоскости числа измерений, где п - число измерений
пространства-времени; вдобавок, конечная часть этих диаграмм оказалась
произвольной, зависящей в нашей схеме от загадочного параметра массы ц.
Теперь мы покажем, как можно устранить эти полюса последовательно в
каждом порядке по Л. Метод очень прост: изменим фейнманов-
142
Глава 4
ские правила в каждом порядке так, чтобы получить конечный результат при
? -> 0. В качестве первого примера рассмотрим диаграмму "головастик":
л
О = и*2 --[---------------- + цД2) - In т2 + 0(е)],
(5.1)
I ?
гдеЛ. * (5.2)
16-гг2 4-ттц2
Содержащуюся здесь бесконечность можно устранить, добавив к лагранжиану ?
дополнительный член
+ F, (е, ^)]ф2, (5.3)
который мы рассматриваем как дополнительный член взаимодействия. Здесь F,
