Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
ненулевой области сходимости нам пришлось сдвинуть область инфракрасной
сходимости на две единицы. Если бы интеграл по петле расходился
логарифмически, было бы достаточно одного такого шага.
Получив для У выражение (3.10), сходящееся в конечной области (в данном
случае в области 0 < со < 1), мы хотим продолжить его к физической точке
ш= 2. Это делается следующим образом. Подставим в подынтегральное
выражение хитроумную конструкцию
'¦-HI
Ц
и проинтегрируем по частям в области сходимости. Получим
1 2тт"~2 °° л Л
1 - -* _gLi dL2 [i tJL- +l2-J-) {L)
Г (со) о n dlu dL2 (L2 + 7 2 + m2)3
(3.12)
После небольших алгебраических преобразований, выразив правую часть через
I, придем к выражению
, * J$-L_ ,,, ;-Л, <*">-' . (3,3,
СО-1 г (со) О (L2 + J2+m 2)4
В нем в явной форме выделен полюс при со = 1. Интеграл теперь расходится
на верхнем пределе при со> 2. Поэтому мы повторяем процесс и вновь
подставляем (З.1!) в (3.13). Результат можно предсказать:
, 2. :3.4 ц,4 и""2 f ,4;" 2 (L2)" "1
(со - 1)(со- 2) Г (со) f О (L2 * I2 + т2)Б ' (3,14)
Именно к нему мы и стремились. Вся расходимость теперь обязана простому
полюсу при со = 2, так как интеграл теперь сходится.
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у*
131
Подведем итоги. Вначале мы определили конечный интеграл в co-плоскости,
который по смыслу должен совпадать с тем, что мы обозначили выше
fd2a>lF(l, к); в нашем случае это выражение (3.10), которое и является
исходным для дальнейшего. Затем, если область сходимости не включает в
себя точку со = 2, мы совершаем аналитическое продолжение с помощью трюка
(3.11).
Выло бы хорошо показать, что для сходящихся интегралов процедура,
приводящая к (3.10), действительно дает правильный результат. Возьмем в
качестве примера сходящийся интеграл
/ = /</2"/_1 .
J {I2 + т2)
Нетрудно видеть, что описанная процедура приводит к выражению
/(со) = ...nl*fd*l f°dL2(L2)a>-2( - --) 1 (3.15)
Г (со- 1) о dL2 1 (L2 + /2 + m2)6'
которое прекрасным образом конечно при со" 2. Как нам и хотелось,
1
/ (2) = /d*l г .4,
(Р;/2- m2)6lo = /^ 1-
(12+т2)6
Таким образом, процедура действительно самосогласована.
После всей этой нудной работы обратимся к более бесцеремонной
интерпретации интегралов в 2" измерениях, представленной в приложении Б.
Если бы мы слепо воспользовались формулами приложения Б, то получили бы
f d2al "и Г (1-со) 1
(/2 + и2)'тт Г (1) (т2)1 '-"• (3,16)
Разложим это выражение вблизи со = 2, используя при п = 0, 1, 2, .. . и е
-" 0 формулу
Г(- и + е) = - [J- + ^(n + 1) + 4-е ("5- + + ~
п! 6 2 6
-ф'(п + 1)) + 0(S2)], (3.17)
где цДп + 1) = 1+_!_ + , . ,+J у [y(s)"Jlar[s) (зля)
* п ds
132
Глава 4
6
тг
2
(3.19)
а у - постоянная Эйлера -Маскерони: ф(1) = - у =- 0,5772 ... •
(3.20)
В результате имеем
Можно показать, что этот результат совпадает с тем, который получается
интегрированием выражения (3.14).
Далее мы будем пользоваться наивными формулами приложения Б, не
задумываясь об их обосновании, поскольку благодаря >т Хофту и Вельтману
мы знаем, что эти формулы законны.
А. Покажите, что наивные вычисления по формулам приложения Б и более
строгая процедура, изложенная в данном параграфе, приводят для интегралов
к одним и тем же результатам.
Б. Докажите последние четыре формулы приложения Б.
§ 4. Вычисление фейнмановских интегралов
Продолжим вычисление фейнмановских диаграмм низшего порядка в теории
Л(р4, пользуясь методом вычислений, изложенным в § 3, и формулами
приложения Б.
Мы видели, что метод размерной регуляризации основан на вычислении
фейнмановских интегралов в 2со измерениях, где константа связи А уже
более не безразмерна. Для удобства введем новую, безразмерную константу
связи Лнов в соответствии с соотношением
Задачи
Л ¦" I 2\2 -со
стар - нов' '
(4.1)
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория <р*
133
где р* - произвольная константа с размерностью массы. Иначе говоря, мы
вычисляем функции Грина в теории, определяемой действием
Л2+ A-(p2)2~V]- (4.2)
Фейнмановские правила для нее совершенно такие же, как и для теории в
четырех измерениях, кроме трех пунктов: 1) в скалярном произведении
векторов сумма берется по.их 2со компонентам; 2) петлевые интегралы имеют
вид fd2col/(2тг)2со,- 3) константа - X в вершине заменяется константой (-
Л)(р2)2
Вычислим диаграммы низшего порядка в такой теории. Начнем с диаграммы
"головастик" (такая диаграмма возникает от ненормального упорядочения в
члене взаимодействия). Вклад этой диаграммы дается выражением
г^т'Т= та- ¦ <")
= (4'4"
где мы использовали формулу (Б.16) и вынесли вперед множитель тп2,
поскольку размерность вклада этой диаграммы равна квадрату массы.
Разлагая в ряд вблизи со= 2, получаем
Г = -^Т[1 + (2-">1п ~~т- + -------ф(2)+
61 тг m I - со
(4.5)
_ Хгп2 1 т2
__ _ f ^(2) - In--- + 0(2 - ш)Г (4.6)
oZ тт Д - со 4тт р
Заметим, что благодаря введению произвольного масштаба р2 мы можем в этой
формуле проследить за размерностью и что полюс в разложении функции Г
