Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
теории возмущений.
Б. Перечислите все теории взаимодействующих скаляров с конечным числом
примитивно расходящихся диаграмм в трех измерениях W-3).
B.Повторите задачу Б при D = 5 и покажите, что при d > 7 не существует
теорий с конечным чиилом примитивно расходящихся диаграмм.
Г. Для случаев d = 2, 3, 5, 6 найдите размерности различных констант
связи в теориях с конечным числом примитивно расходящихся диаграмм.
§ 3. Размерная регуляризация фейнмановских интегралов
Ниже мы продолжим вычисление фейнмановских диаграмм. Вычисление
ультрафиолетово-сходящихс диаграмм производится непосредственно, в случае
же расходящихся диаграмм требуются особые меры. В этом случае мы
сталкиваемся с интегралами вида
+ QO
lA.{k) = idAlF{l,k), (3.1)
- оо
где при больших I функция F ведет себя как I ~2 или I . Суть метода
размерной регуляризации в том, что при понижении числа измерений, по
которым ведется интегрирование, расходимости тривиальным образом
исчезают. Например, если F -"I ~А, то в двух измерениях интеграл (3.1) на
ультрафиолетовом пределе сходится.
С математической точки зрения мы вправе ввести функцию
/ (со, А) = fd2a>lF(l, к) (3.2)
как функцию (комплексной) переменной и. Вычислим ее в той области,
128
Глава 4
где / не имеет сингулярностей в co-плоскости. Затем придумаем функцию /
'(со, к), совпадающую с / в области сходимости интеграла (3.2) в co-
плоскости и имеющую хорошо , определенные сингулярности вне области
сходимости. Осуществляя аналитическое продолжение, мы можем утверждать,
что функции / и /' совпадают.
Прекрасным примером, демонстрирующим суть, метода аналитического
продолжения, может служить разница между эйлеровским и вейерштрассовским
определениями Г -функции. При Rez > 0 эйлеров-ское представление имеет
вид
г(*)-/*".-*"*-1. (3.3)
о
Этот интеграл расходится при Rez < 0, поскольку при t -* 0 он ведет себя
как dt/t1 + ,Rezl, т. е. стремится к бесконечности. Однако, пользуясь
выражением (3.3), можно отщепить причиняющую беспокойство область
интегрирования, написав
оо / 1 а ОС
г (z)= 2 - \lK-fdt tn + z (3.4)
П ~ О 71 ! О СХ
где а - совершенно произвольная величина. Второй интеграл хорошо
определен даже при Rez < 0 до тех пор, пока ос > 0. Первый интеграл имеет
простые полюса во всех точках, где z - отрицательное целое число или
нуль. Тогда
оо i/г п + г оо
l"(z)-Z -Li'- -1------------ +¦ f dt e-*t* (3.5)
n =0 ni (z + n) о
Это выражение справедливо всюду в г-плоскости. Более того, оно не должно
зависеть от произвольного коэффициента ос (читатель может сам убедиться,
что dr /da = 0). При а = 1 мы получаем вейерштрас-совское представление Г
-функции. Все же, чтобы изолировать особенности, нам пришлось ввести в
процессе вычислений произвольный масштаб, хотя конечный результат от него
не зависит.
Наша проблема заключается в том, что интегралы типа (3.2) похожи на
эйлеровский интеграл. Мы же хотим найти эквивалент Бейер-штрассовского
представления. Процедура будет следующей: 1) установим конечную область
сходимости интеграла по петле в co-плоскости; для расходящихся интегралов
эта область обычно будет лежать слева от прямой ш= 2; 2) построим новую
функцию, которая перекрывается с интегралом по петле в его области
сходимости, но определена в более
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория <рА
129
широкой области, включающей точку со = 2; 3) перейдем к пределу при
(О -" 2,
Покажем, как это делается в случае однопетлевых диаграмм, следуя методу
'т Хофтаи Вельтмана [1]. Возьмем в качестве примера квадратично-
расходящуюся диаграмму "головастик"11. Прежде всего расщепим область
интегрирования, написав d24 ^d4d2a>-*l.
Затем введем в пространстве размерности 2 со - 4 полярные координаты и
обозначим через L длину (2 со - 4)-мерного I -вектора. Тогда интеграл
примет вид
Можно провести интегрирование по углам (приложение Б), что приводит к
выражению
' 'T^!i4!iLL^'uJrrT7^y
Оно определено не очень хорошо, поскольку при со> 1 у него
ультрафиолетовая расходимость, а,кроме того, интеграл по L расходится на
нижнем пределе (в "инфракрасной" области) при всех со< 2. Следовательно,
в co-плоскости отсутствует перекрывающаяся область, в которой интеграл I
хорошо определен. Однако инфракрасная расходимость является артефактом
разбиения меры интегрирования. Заметим, что написав
L2"-e=_1________ _1_ (L2r~2, (3.8)
со - 2 dL2
проинтегрировав по частям по L2 и отбросив поверхностный член, мы получим
/ - *::*frtfdL2m°-* (-л_) 1 (3 9)
Г (со - 1) о dL2' L2 + I2 + т? ' (3,9)
если еще воспользуемся равенством Г (со - 1) = (со- 2)Г(ш- 2). Теперь уже
представление (3.9) обладает инфракрасной расходимостью при
11 Вторая диаграмма в выражении (1.26). - Прим. пврвв
130
Глава 4
со<: 1 и все той же ультрафиолетовой расходимостью при со> 1, так что
перекрывающаяся область сходимости все еще отсутствует. Повторим эту
процедуру и в результате придем к выражению
которое уже хорошо определено при 0 < "< 1. Отметим, что для получения
