Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
содержит две вершины и, следовательно, четыре свободных
диаграммы, либо какие-то из этих хвостов, числом до трех, могут являться
внешними линиями. Во всех этих случаях мы должны изолировать от остальной
части диаграммы четырехточечную функцию или двухточечную функцию, если
два из четырех хвостов соединены вместе (в этом случае расходимость
становится квадратичной). Тогда можно увидеть, что ультрафиолетовые
расходимости внутри диаграммы обусловлены такими петлями и что такие
петли возникают в двух- и четырехточечных функциях, гнездящихся внутри
диаграммы.
Итак, в теории Лер4 в четырех измерениях фейнмановская диаграмма является
действительно сходящейся, если ее кажущаяся степень расходимости D
положительна и если диаграмма не может быть расщеплена на трех-, двух-
или одночастично- приводимые части описанного выше типа, которые могут
содержать изолированные двух- и четырехточечные блоки. Более изящно
выглядит такая формулировка: фейнмановская диаграмма сходится, если
кажущаяся степень расходимости самой диаграммы и всех ее поддиаграмм
положительна. Это так называемая теорема Вайнберга, которая верна
независимо от типа теории поля.
Все сказанное означает, что причиной расходимостей являются только двух-
и четырехточечные функции и ничто более. В них все зло! Так что если мы
можем контролировать их в функциях G{2) и G<4), то у нас есть возможность
контролировать расходимости всех других функций G{N).
Диаграммы, содержащие указанные основные расходимости, называются
примитивно расходящимися. То обстоятельство, что в теории Лф4 число
примитивно расходящихся взаимодействий конечно (двух-и четырехточечные
взаимодействия), а сами эти взаимодействия того же типа, что и
содержащиеся в лагранжиане, является необходимым условием успешного
устранения ультрафиолетовых расходимостей путем ловких переопределений.
Теория, в которой подобное возможно, называется перенормируемой. Из
формулы (2.4) можно увидеть, что этим требованиям удовлетворяют очень
немногие теории взаимодействующих скаляров (см. задачу).
диаграммы (или один хвост может быть внешним, а другой - присоеди-
хвоста
которые можно присоединить к оставшейся части
126
Глава 4
При d = 4 степень D растет с ростом числа вершин, для которых JV > 4.
Следовательно, теории <р6, ф6, ..., хотя и совершенно приемлемы с
классической точки зрения, приводят к бесконечному числу примитивно
расходящихся диаграмм (чем больше вершин, тем сильнее расходимость!). В
этом случае ситуация быстро выходит из-под контроля и надежда навесить
ярлыки на все расходимости, а следовательно, и перенормируемость,
исчезает.
Когда d= 2 (одно пространственное и одно временное измерения), положение
меняется на обратное. В данном случае
и степень D оказывается независящей от числа N, отмечающего тип
взаимодействия! Величина D зависит только от числа вершин, причем чем
больше вершин, тем более сходящейся оказывается фейнмановская диаграмма!
Кроме того, D не зависит от числа внешних'хвостов! Таким образом,
единственные примитивно расходящиеся диаграммы либо имеют одну вершину,
либо не имеют ни одной. Так как расходимости возникают из-за
интегрирований по петлям, это означает, что расходимости появляются
только в том случае, когда хвост некой вершины связан с той же самой
вершиной, а не в случае взаимодействия двух или более вершин. Подобные
расходимости называются расходимостями "нормального упорядочения", В двух
измерениях ультрафиолетовые расходимости происходят только от
"нормального упорядочения", а не от типа взаимодействия.
Заметим, наконец, что при d > 7 не существует теорий с конечным числом
примитивно расходящихся диаграмм. Последняя из возможных теорий в высших
измерениях это теория Лф3 в шести измерениях, причем здесь величина Л
безразмерна, так как размерность величины ф теперь уже равна - 2. Число
примитивно расходящихся диаграмм невелико, поскольку V не входит в
выражение для D:
так что примитивно расходятся одно-, двух- и трехчастичные функции (как
четвертая степень, квадратично и логарифмически). Хотя потенциал в этой
теории неудовлетворителен, так как он неограничен снизу, сама теория
интересна, поскольку она наряду с более сложными калибровочными теориями
обладает свойством асимптотической свободы.
Итак, в данном параграфе мы обнаружили в фейнмановских диаграммах с
петлями ультрафиолетовые расходимости (плохие новости), но
d = 2 - 2Vn (2 измерения)
(2.8)
D = 6 - 2Е '(ф3 в 6 измерениях),
(2.9)
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория <р*_________127
убедились, что по крайней мере в нашей теории эти расходимости
проистекают только от двух примитивно расходящихся функций Грина (хорошие
новости). Следовательно, если нам удается предотвратить появление
расходимостей в G<2* й G(4), то у нас будет надежда предотвратить
катастрофу и получить сходящиеся ответы.
Задачи
A. Найдите все примитивно расходящиеся диаграммы в теории ф3 в четырех
измерениях. Для каждой такой диаграммы приведите пример в низшем порядке
