Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 18

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 98 >> Следующая

на ^ Дирак*
В. Покажите, что для ? = ? дирак ток дилатаций можно записать в ви-
Используйте киральное преобразование для того, чтобы исключить
псевдоскалярный член. Какова будет масса получившегося дираковского поля?
Функционал действия
53
*Д. Пусть задан квадратичный лагранжиан, содержащий поля ^.
-V
? = ?L + ?д +.?(r) +¦ ),
и включающий дираковскую и майорановскую массы. Диагонализуйте поля таким
образом, чтобы получить несмешанные массы. Каковы будут массы полей?
Каков физический смысл различных степеней свободы?
*Е. Рассмотрите лагранжиан ст-модели, а) Пользуясь теоремой Нетер,
выведите выражение для сохраняющегося кирального тока,
б) Предположим, мы добавили к ? член, линейный по ст; найдите
дивергенцию кирального тока. Это последнее уравнение отображает гипотезу
ЧСАТ (частично сохраняющегося аксиального тока) пионной физики.
*Ж. Как преобразуется при конформных преобразованиях поле 4^? Покажите,
что лагранжиан ?^ конформно-инвариантен.
§ 8. Действие со скалярными и спинорными полями и суперсимметрия
Между простейшим кинетическим членом ?^ для спинорных полей и его
аналогом для скалярного поля S имеются определенные различия. В то время
как ?^ содержит одну производную, скалярный кинетический член содержит
две производные; поле является грассмано-вым полем, a S - обычное поле;
наконец, ?^ обладает фазовой инвариантностью (7.6), а кинетический член
для одного скалярного поля ею не обладает. В то же время имеется и
сходство, поскольку оба кинетических члена конформно-инвариантны. В
данном параграфе мы расх-смотрим вопрос о возможности существования
симметрии между полями, связывающей фермионный и скалярный кинетические
члены. Такая симметрия называется суперсимметрией - благодаря ей возмож-1
ны нетривиальные взаимодействия между скалярными и спинорными полями.
Чтобы легче было выявить новую симметрию, запишем кинетический член
скалярного поля в виде, как можно более похожем на ?^. Для этого введем
кинетический член для двух скалярных полей, которые мы обозначим через S
и Р, и сравним его с кинетическим членом для майорановского спинорного
поля, которое мы обозначим через х-Тогда каждый кинетический член будет
обладать своей фазовой инвариантностью. В самом деле, лагранжиан
?"* - -i- ""s-* j- + -L хгЧ* (8.1)
54
Глава 1
помимо того, что он конформно-инвариантен, обладает двумя независимыми
глобальными фазовыми инвариантностями
Любая дальнейшая инвариантность будет включать преобразования,
переводящие бесспиновые поля S и Рв спинорное поле х- Общие свойства
преобразования этого типа таковы: а) параметр преобразования, обозначим
его через а, должен быть грассмановым спинорным полем, т.е. глобальным
бесконечно малым майорановским спинорным параметром;
б) в простейшем случае преобразование полей S и Р не должно включать
оператора производной, а преобразование поля х должно включать одну
производную, так как фермионный кинетический член имеет на одну
производную меньше, чем скалярный кинетический член. Таким образом, мы
приходим к преобразованию
5 (S или Р) = а Мх, (8.3)
где М - некоторая 4х 4-матрица. Так как сюда не входят никакие 4-век-
торные индексы, матрица М должна содержать только матрицы I иу5.
Следовательно, можно зафиксировать преобразование в виде
где а и Ь - неизвестные действительные коэффициенты. Здесь мы
воспользовались фазовой инвариантностью (8.2), чтобы определить вариацию
S через матрицу /, а вариацию Р - через матрицу i у5. Правая часть этих
вариаций построена так, чтобы они были действительными. (В май-орановском
представлении для матриц Дирака все четыре компоненты майорановских
спиноров действительны, а все матричные элементы у-матриц чисто мнимы,
так что i у5 имеет действительные матричные элементы). Далее
(предполагая, что <9Ц не изменяется; см. задачу Е) находим
Чему может равняться вариация поля х? Заметим, во-первых, что с точностью
до полной дивергенции
X ->eiaysx, S + iP+ е*Р (S ч- iP).
(8.2)
5S =-о"х, 5Р= ib ау5х,
(8.4), (8.5)
(8.7)
Используем теперь векторную часть свойств "майорановского переворота":
при замене § ->г| комбинации fr|, fy5r) и |уцУ5г| четны, а ?уцП и
Функционал действия
55
?оцуг| нечетны. Эго справедливо для любых двух майорановских спиноров § и
г| (см. задачу). Учитывая это в преобразовании (8.7), получаем с
точностью до поверхностных членов
5[ JL х/ЧхЬ бХу%Х. (8.8)
4
Соберем все полученные результаты:
б? ^0Z = (бхуц к a <?pS a f i Ь Рау5) Пов. член = (8.9)
= - @рбХУц Sa y-.ibdpdVIfxy^ х +. Пов. член, (8.10)
причем при переходе от (8.9) к (8.10) выполнено интегрирование по частям.
Итак, если 6Х удовлетворяет уравнению ( ? s Зц<?м)
диБХуц +¦ а О S a -t-ibD Pa у 5 = 0, (8.11)
то лагранжиан изменяется лишь на полную дивергенцию. Решение этого
уравнения легко находится:
5Х = аУр adPS - ib уру5 аДРр. (8.12)
Здесь мы использовали равенство ypyadiP,9CT = Э^дР. Таким образом, мы
достигли поставленной цели: найдена совокупность преобразований между
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed