Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
еще не гарантирует безмассовости, как столь часто неправильно утверждают.
(Например, это относится к модели Вайнбер-га - Салама слабых и
электромагнитных взаимодействий, в которой нейтрино описывается
двухкомпонентным левым спинором без правого партнера. В этом случае
безмассовость нейтрино есть результат отсутствия определенных хиггсовых
бозонов, и сохранение фермионного числа оставляет нейтрино безмассовым
даже после учета радиационных поправок.) Замечание представляется
особенно уместным в связи с тем, что нейтрино принято описывать левым
полем. Отметим, что выражение
50
Глава 1
?" нарушает непрерывную симметрию относительно фазовых преобра^
зований (7.6), и от нее остается только воспоминание в виде дискретной
симметрии относительно замены -> - 'Vl . В майорановских обозначениях
Если присутствуют оба поля и , то можно построить еще два квадратичных
инварианта, что приводит к выражениям
Они оба инвариантны по отношению к общему фазовому преобразованию (7.7),
но неинвариантны по отношению к киральному преобразованию (7.8), при
котором
тогда как дивергенция тока /ц, определяемого формулой (7.10), остается
равной нулю. Из этого не следует делать вывод, что нельзя построить
квадратичных по дираковским полям членов, не содержащих производных и
сохраняющих киральную инвариантность. Нижеследующий пример демонстрирует
это. Рассмотрим выражение
равное сумме ?^ и ?^ , но с коэффициентами, зависящими на этот раз от х.
Чтобы сохранить киральную инвариантность, величины а и тт должны при
киральных преобразованиях трансформироваться следующим образом:
При бесконечно малых р поля а и тг поворачиваются,переходя одно в
_±?L H'rt, ??5 = - ~ (7Л6), (7.17)
L **
(7.18)
(7.19)
(7.20)
и, следовательно,
?* - imfe2^Y5T.
(7.21)
Применяя формулу (5.27), находим, что
(7.22)
а(х)Ч(х)Ч(х) + {х)
(7.23)
[а (х) тт(х)] -> [а '(х) +¦ iys тт (ж) ] =
е ^ Уз [ а (х) + iy$ тт(ж) ] Ys
(7.24)
Функционал действия
51
другое:
бст =-+ 2|3-гг, 5тг = - 2(3ст. (7.25)
Такое преобразование оставляет инвариантной величину ст 2 + п3.
Следовательно, лагранжиан
?у = Ту f: г А'Ф (а + iy5 тт)Т (7.26)
кирально-инвариантен. Если аил- канонические поля, то h - безразмерная
постоянная (называемая обычно юкавской константой взаимодействия). Можно
вдохнуть жизнь в сами поля сг и тг, добавив к ? их кинетические члены, а
также самодействие этих полей, сохраняющее условие (7.25). Это приводит к
лагранжиану
? =.J_ Туц^м^ + ih ^(ст + iYs*) * + -у + -- "ЭрТг^тг-
¦" Е(а 2 + лт2). (7.27)
Такой лагранжиан обладает следующими симметриями (все они глобальные) :
а) общая дираковская фазовая симметрия
Т-* егаУ; ст . тт-> ст , тт;
б) киральная симметрия 6T=i3ysT, 6а = 2 (3 тт, бтт =¦- 2 р<т, оставляющая
инвариантным выражение о 2 f тт2;
в) дискретная симметрия относительно преобразования четности у -> у0 у,
ст -* ст , тт - тт; отсюда следует, что о (х) - скалярное поле, а тт(дс)
- псевдоскалярное.
Лагранжиан подобного типа был впервые построен Гелл-Манном и Леви. Теории
такого рода называются ст -моделями и подходят для описания физических
тт-мезонных взаимодействий. (В рассмотренном примере изоспин пиона не
принимался во внимание.)
Мы видим, что требование сохранения во взаимодействии симметрии
кинетического члена приводит к введению дополнительных полей. Это общее
свойство: расширение симметрий -> добавочные поля.
Заметим, что в четырех измерениях инвариантные члены, содержащие более
двух спинорных полей, имеют размерность по меньшей мере - 6, так что для
восстановления размерности ? требуются размерные константы. Но в двух
измерениях члены типа (9 Т)2 Или
ТуМТТу^Т имеют ту же размерность, что и ?.
52
Глава 1
Поскольку двухкомпонентные спинорные поля всегда комплексны, я движения
получаются независимым варьированием по полям
В случае дираковского спинора, чтобы получить уравнения движения, нужно
произвести независимые вариации по f и 9.
В заключение заметим, что можно построить, и более сложные инваг рианты,
содержащие спинорные поля, например Хотя в чле-
нах такого типа нет ничего плохого с точки чрения требований
инвариантности, их включение не приводит к удовлетворительным теориям по
той причине, что они нарушают связь между спином и статистикой. Мы
вернемся к этому вопросу позднее при рассмотрении калибровочных теорий.
Б. Найдите тензор энергии-импульса Белинфанте для лагранжиа-
LID • мира* ' '
Де }q = хр1'в ' где тензор энергии-импульса в форме Белинфанте. Тем самым
вы покажете, что тензор Белинфанте совпадает с новым улучшенным тензором
энергии-импульса для дираковского поля.
Г. Пусть задан лагранжиан
' . Здесь нужно быть крайне осторожным, так как мы рассма-
триваем и ipjt как грассмановы поля и не можем протащить 5 ч1 через у, не
изменив знака. Например
что приводит к сопряженным уравнениям а =0 или = 0.
(7.30)
Задачи
А. Покажите, что лагранжиан ?й, в котором = ст 2у* , равен лагранжиану
с точностью до полной дивергенции.
й
