Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 16

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 98 >> Следующая

Теория поля с несколькими скалярными полями во многом аналогична
изложенной выше, но в ней возникают новые интересные симметрии.
Рассмотрим для примера N действительных скалярных полей Ф" , где о в 1,
... N, и лагранжиан
? =• JL 2 диуа д"<?а. (6.27)
1 а = 1
Помимо обычных инвариантностей, этот лагранжиан очевидно инвариантен по
отношению к глобальному (т.е. не зависящему от х) вращению N
действительных скалярных полей, переводящему одно поле в другое,
5<Ра =-ЕоЬ ФЬ, = ~*Ьа- (6.28)
Функционал действия
47
В результате появляется 1/2 N(N - 1) сохраняющихся нетеровских токов
Это пример внутренней симметрии, возникающей из-за наличия многих полей
одного типа. Если дополнить теорию потенциалом, зависящим только от
инвариантной по отношению к вращениям "длины" <ра <ра , то внутренняя
инвариантность относительно вращений сохранится.
Зацачи
А. Покажите, что в четырех измерениях дивергенция канонического тока
дилатаций равна нулю, если ? =1/2 du<pd^q>- (л/4!)ф4_
Б. Выведите в D измерениях выражение для дивергенции тока дилатаций, если
? =1/2 дцсрдН - Е(ср).
*В. Канонический тензор энергии-импульса в общем случае оОя-зан быть
симметричным. Покажите, что всегда можно найти член BP^V,
антисимметричный при заменах р -¦ ц или р -" v, такой, что тензор Белин-
фанте
симметричен и сохраняющийся нетеровский ток для лоренцовских
преобразований записывается в виде
Указание: для скалярного поля BP^V = 0, так что эта величина 1меет
отношение к S
*Г. Найдите Sip'для конформного преобразования. Покажите, что действие S
= / d4х 1/2 инвариантно относительно конформ-
ного преобразования. Постройте сохраняющийся нетеровский ток.
Д. Выведите выражение для сохраняющихся токов, соответствующих
преобразованиям (6.28), если лагранжиан ? задан в виде (6.27).
§ 7. Действие пля спинорных полей
В данном параграфе мы прежде всего займемся построением выражений для
действий, включающих спинорные грассмановы поля ц>L и Если
воспользоваться результатами § 4, то простейшие
формы спинорного кинетического члена будут такими:
tab = фо аИфЬ - фЬ дЦ<ра .
(6.29)
/MVP= СЦУ хр _ .цр xv)m
В 'В
(7.1)
48
Глава h
(7.2)
или, если четность существенна,
(7.3), (7.4)
В частной случае = - ст2 у* легко показать, что лагранжиан экви-
валентен ?i с точностью до полной дивергенции (см. задачу А). Сле-
довательно, если - четырехкомпонентный майорановский спинор, лагранжиан
записывается в виде
свойства спинора . В литературе часто можно встретить кинетический член
(7.3), записанный так, что оператор производной действует только направо
и при этом отсутствует множитель 1/2. Хотя на первый взгляд такая форма
лагранжиана отличается от формы (7.3), все различие сводится к полной
дивергенции. Подобное отличие не имеет значения до тех пор, пока система
не взаимодействует с гравитационным полем.
Из приведенных выражений явствует, что в D измерениях спинор-ное поле
имеет (по построению) размерность в четырех
измерениях размерность спинорных полей равна - 3/ 2.
Указанные возможные кинетические члены инвариантны относительно
конформных преобразований (см. задачу Ж), так же как это было для
кинетического члена скалярного поля, но вдобавок эти члены обладают
своими фазовыми инвариантностями. Рассмотрим, например, лагранжиан (то же
самое относится и к ). Поскольку ~ комплексный спинор, можно подвергнуть
его фазовому преобразованию
оставляющему инвариантным, если а не зависит от х. У дираков-ского
лагранжиана (7.3) две такие инвариантности. Пользуясь четырехкомпонентной
формой записи, их можно разделить на общее фазовое преобразование
и совпадает с ?^, в чем можно убедиться, используя грассмановы
(7.6)
Г - е''Р Т
(7.7)
и киральное преобразование Y -'е'Р
(7.8)
Функционал действия
49
Наконец, как и в скалярном случае, действие с ? = ?^(или ?д) инвариантно
относительно постоянного сдвига полей, поскольку
?/,(УЬ +:"!,)-^L + - ~'PLalJaL). (7.9)
На основании теоремы Нетер можно построить сохраняющиеся токи, отвечающие
преобразованиям (7.7) и (7.8):
jv = i Туй У = t сти у + (7.10)
L L R R
/,Ц = г'УуцУ5У = *>1' стмш -l>T"rMip (7.11)
L l R R
Соответствующие сохраняющиеся заряды таковы:
Q = i tf3x Уу°У = i ftf3x у +vp^ vp ) , (7.12)
L L R R
Q =ifd3x Уу°у5У =-i f{l3x (рД ^ -vp1"^). (7.13)
L L R R
Для майорановского поля существует только киральное преобразование,
поскольку поле сопряжено полю ip , и потому фазовые преоб1 разования
полей ip^ и противоположны.
Из спинорных полей можно построить другие некинетические квадратичные
инварианты (§ 4). Используя только поле у , получим
4--f-
Sf, ¦ ~ ЧV'), (7.14), (7.15)
где m - параметр с размерностью массы (в любом числе измерений).
Выражения (7.15) и (7.16) - это так называемые массовые члены. Так как
для описания майорановского спинора ip^ можно использовать поле ip^,
выражение (7.14) может служить массовым членом для майорановского
спинора. Записанное в четырехкомпонентных обозначениях, выражение (7.14)
называется майорановской массой. Итак, наличие толы ко одного поля у ^
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed