Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 15

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 98 >> Следующая

может служить лагранжиан
?о=._|_ дрф ЗНф - п? ф2, (6.2)
где m имеет размерность массы. Такое действие описывает свободную частицу
массой m (как мы позднее выведем, исходя из интеграла по траекториям.)
Заметим, что лагранжиан ?0 инвариантен также по отношению к дискретному
преобразованию симметрии ф(*) -" --ф(ж)- (6*3)
Более сложный пример - лагранжиан
? = ? - - Ф\ (6.4)
0 41
описывающий теорию с самодействием. Отметим, что ,А - безразмерный
параметр (в четырех измерениях). Знаком минус обеспечивается
положительность функции V. Такое действие приводит к приемлемой квантовой
теории поля. Д)угой пример - синус-гордоновский лагранжиан
+~ (cos -1), (6.5)
1 Л m
где А - безразмерная константа. При \Дф!m" 1 этот лагранжиан сводится к
предающему с отличием лишь в знаке члена с ф4. К сожалению, неизвестно,
приводит ли такой лагранжиан к приемлемой квантовой теории поля в четырех
измерениях; но он дает хорошую квантовую теорию в двух измерениях!
Какова бы ни была форма функции V, легко получить уравнения
Глава 1
движения
<VM<P= -И'(ф).
(6.6)
где штрихом обозначена производная по полю <р. Следуя сказанному в
предыдущем параграфе, можно построить сохраняющуюся величину.
1. При бесконечно малой трансляции, для которой бж14 = е и и 6q> - О,
уравнения (5.25) и (5.26) принимают вид
Мы видим, что в этом случае / - симметричный тензор; он называ-
ется тензором энергии-импульса. Соответствующий сохраняющийся заряд
таков:
Поскольку Р0 есть энергия системы, плотность энергии дается выражением
и, как нетрудно видеть, положительно определена, если V> 0. Та полевая
конфигурация, которая приводит к наименьшему значению / 00, отвечает
основному состоянию. Поскольку члены с производными дают положительный
вклад, такая конфигурация всегда возникает для статического поля q>0 (90
<р0 = 3* q>0 = 0), и в этом случае плотность энергии есть значение
потенциала Т(<р0) для этого конкретного поля.
2. При лоренцовских преобразованиях сохраняющийся нетеровский ток
представляет собой трехиндексную величину .
Соответствующее сохраняющиеся заряды - это генераторы лоренцовских
преобразований
Сохранение этих зарядов есть следствие инвариантности действия по
отношению к преобразованиям группы Пуанкаре.
В качестве примера применения теоремы Нетер к таким преобразованиям, по
отношению к которым действие S не обязательно инвари-
(6.7), (6.8)
= М3* /Ц() = М3* (" ?М() ? -кЭофдрф)*
(6.9)
(6.10), (6.11)
(6.12), (6.13)
Мур - f d3x j ovp - f d3x (/ ov *p ~ jopxv).
(6.14)
Функционал действия
45
антно, рассмотрим бесконечно малую дилатацию
s<p= -о<р., (6.15)
Нетеровский ток имеет вид
/р = (- gp ? -ксЖф |9рф) хР + ф(9Иф = jvPXp + -у д^Ф2.
(6.16), (6.17)
Пользуясь формулой (6.8), получаем, что
-/{J + -у- <6Л8)
Если ? = 1/2 ЭцфЭНф - (X/ 4!)ф4, то легко доказать, что дивергенция тока
/'U равна нулю (в четырех измерениях; см. задачу). Однако, если бы мы
добавили к ? "массовый член" - 1/2т2ф2, его вклад оказался бы равным
<?u/? = mV * 0. (6.19)
Причина того, что в этом случае ток j g перестал сохраняться, заключается
в появлении в лагранжиане ? .размерного параметра.
Напомним, что вид тензора /цунеоднозначен. В качестве приме" ра
рассмотрим новое определение
= /\iv + - gMV дрд?) ф2, (6.20)
где о - безразмерное число. При этом все еще выполняется условие
"?И0ци = 0. (6.21)
Зафиксируем а, потребовав, чтобы в теории, инвариантной- относительно
дилатаций, тензор 0ЦУ имел нулевой след. Если взять для примера
лагранжиан (6.4) с т2 = 0, то
0? " (1 * 6 а)(- с>р ф др дРф -ф^р^Рф), (6.22)
откуда мы получаем, что а = - 1/6. Более того, разность величин 0цу и /
"у есть поверхностный член, не меняющий сохраняющихся зарядов. Можно
теперь определить новый ток дилатации в виде
/^**р0мр. (6-23)
С учетом формулы (6.21) найдем
dix -в", (6.24)
46
Глава 1
откуда следует, что инвариантность относительно дилатаций эквивалентна
бесследовости тензора 0ри. Новый ток дилатации связан со старым
соотношением
= *Р/МР - -1- - gWd^d7) q>2 =
6
_ уц i_ дНф2- -L Хр(ЭУдР -gUPd^d?) ^2
= •/? +• -i- <9р [ *цдР - *Р <ЭР]ф2, (6.25)
которое получается, если использовать формулу (6.17). Мы видим, что эти
два тока отличаются друг от друга на полную дивергенцию, и поэтому заряд
дилатации не меняется. Тензор 0 носит название "нового улучшенного
тензора энергии-импульса" [3, 4]. Разности тензоров 0цу и и векторов /р0
и /_ это поверхностные члены.
Указанные новые формы тензора энергии-импульса и тока дилатаций можно
получить каноническим образом, если добавить к лагранжиану скалярного
поля поверхностный член вида дрЛц, где
= _L(*M дР~*рд") <ЭРФ2, (6>26)
6
так что его добавление соответствует некоторому каноническому
преобразованию.
В полевых теориях для полей с высшими спинами инвариантность относительно
дилатаций всегда связана с бесследовостью тензора энергии-импульса. Как
будет видно далее, даже если инвариантность относительно дилатаций
присутствует в исходном лагранжиане, она нарушается квантовыми эффектами.
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed