Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
Так как 50 - изменение только самой функции, имеем
Б^Ф = [б0, <?ц] Ф ? <9йб0Ф = дрб0Ф. (5.16), (5.17)
Простые выкладки приводят к выражению
б?=.б*р"э ? + (_*?_ _ ЙД_ )5 Ф^ (iL б ф).
дФ м 3(3цф) и <9(<9МФ) °
(5.18)
Привлекая классические уравнения движения, можно записать измене-
40
Глава 1
ние действия в виде
6 S =¦ fV* [Йцб*^ .8^ + ^(-^|-- боФ)^= (5.19)
ц <?(5аФ)
Ti ц
Т 2
= ' Г Л <?,,(?б*Р + -^- 50Ф). (5.20)
U ЩФ)
Можно также, выразив 60 через 6, написать
6S. Г л олч - + i^sr5Ф)- (5-21>
Выразим вариации координат и полей через глобальные (т.е. не зависящие от
х) параметры преобразования:
6*Р = 5*Р.. бсоа, (5.22)
б"а
5ф = J(r)- 6со". (5.23)
5соа
Здесь индекс а нумерует параметры преобразования. Следовательно,
кс Т2 л* л //Р ц ^ з 5*р 5Ф N. а
SS =• Г Я4* <?л((1гР----------------(90ф) +--------------- -:------
------ ) бсо .
^ Р д0иф) 9 5со" д(диф) бсо° '
(5.24)
Если действие инвариантно по отношению к преобразованиям (5.22) и
(5.23), то отсюда вытекает, что плотность тока
;м ,а и 5*Р <э? 5Ф
gP а(3"Ф) р д(ЭцФ) (5*25)
сохраняется, т.е.
ia = °- (5.26)
Это уравнение сохранения есть следствие того, что выражение (5.24)
справедливо при всех 6со". Таким образом, мы доказали для классической
теории поля теорему Нетер, связывающую уравнение сохранения с
инвариантностью действия.
Функционал действия
41
Но если действие не сохраняется, то и это уравнение сохранение более не
справедливо. Например, при БхР * 0 оно имеет особенно простой вид
к?
<9 /? = - -2=- . (5.27)
р'° 5со°
Предположим, что мы нашли совокупность преобразований (5.22) и
(5.23), оставляющих действие инвариантным. Проинтегрируем обе части
равенства (5.26) в бесконечных пределах по пространственным направлениям
и в конечном интервале по времени. Тогда
Т 2 +¦ ЭО Т2 +¦
0= Г dx° f d3X = f dx° Л- f d3X j 1 +
T1 Tx dx° -
T2
+ f /? . (5.28)
Ti
Если пространственные границы выбраны подходящим образом, то последний
член обращается в нуль. В результате
0 = f d3x ja° (Тих)~ [, d*x j°(T2,x). (5.29)
- 00
- 00
Следовательно, заряды, определенные формулой f х"
/ d3x /° (г, *), (5.зо)
не зависят от времени, поскольку приведенные выше рассуждения верны
независимо от выбранных пределов интегрирования по времени. Итак,
dQn
- = 0. (5.31)
dt
Из условия 5S = 0 нам удалось вывести существование сохраняющихся
зарядов.
Когда параметры преобразований безразмерны, как в случаях преобразований
Лоренца и внутренних преобразований (но не трансляций), получающиеся токи
всегда имеют размерность L~D •*-1 в D измерениях так что заряды
оказываются безразмерными.
42
Глава 1
Заметим далее, что сохраняющийся ток определен неоднозначно, так как к
нему всегда можно добавить четырехмерную дивергенцию антисимметричного
тензора dp t ?4 Это особенно ясно видно, если учесть формулу (5.11).
Кроме того, поскольку /и сохраняется только после использования уравнений
движения, мы свободны добавлять к нему любую величину, обращающуюся в
нуль в силу уравнений движения. Это существенно, в частности, тогда,
когда а - лоренцовский индекс, как в случае трансляций, для которых
В последнем случае параметр а заменяется антисимметричной парой индексов
[ pv ].
В заключение отметим, что преобразование, оставляющее инвариантным
действие S, может изменять лагранжиан ? на полную дивергенцию, и это
означает, что операция симметрии сопровождается каноническим
преобразованием. В квантовой теории, где уже нельзя полагаться на
уравнения движения, утверждение о сохранении тока теряет свое значение,
но заменяется соотношениями между функциями Грина, так называемыми
тождествами Уорда.
А . Покажите, что конформные преобразования 5я^=.(2*и хР -g^P *т хт)ср,
где с р - бесконечно малый 4-вектор, в совокупности с дилатациями бжР =
ахР, где а - бесконечно малая величина, и преобразованиями группы
Пуанкаре образуют 15-параметрическую группу (она называется конформной
группой). Найдите генераторы этой группы и их перестановочные
соотношения.
Б. Дилатации и группа Пуанкаре образуют вместе так называемую группу
Вейля. При дилатациях поле Ф размерности d преобразуется, по правилу 5Ф =
+ d<i>. Предполагая, что действие S инвариантно по отношению к группе
Вейля и содержит Ф, найдите сохраняющийся ток, соответствующий
дилатациям.
(5.33)
(5.32)
Задачи
Функционал действия
43
§ 6. Действие ппя скалярных полей
Лагранжева плотность, содержащая только одно скалярное поле <р(х),
записывается в наиболее общем виде как
? = _L зцФ(*) д? ф(*) - f(9(*) , (6.1)
2
где коэффициент 1/2 чисто условен, а V - скалярная функция. Первое
слагаемое носит название кинетического члена, а второе - потенциального.
Кинетический член обладает более широкой, нежели потенциальный, группой
инвариантности: он инвариантен по отношению к сдвигу поля ф -> ф + а, где
а - глобальная постоянная. Поэтому в четырех измерениях ф(х) имеет
естественную размерность L-1 (или размерность массы). В классической
теории форма функции Р(ф(*)) ничем не ограничена. Простейшим примером
