Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
положения, Грин исследовал устойчивость периодических точек только
для се = ag (см. п. 4.46 ниже).- Прим Г ред.
Переход к глобальной стохастичности
273
при s-> оо. Грин численно показал, что в случае золотого сечения для
критического значения К Кс вычет стремится к пределу
R(ag, (4.4.11)
Поэтому при (3 = 1/4 в (4.4.6) / становится ближе к
единице, и
можно ожидать более быстрой сходимости. Это, действительно,
подтверждается численными данными.
Метод Грина позволяет также найти условия разрушения инвариантных кривых
на фазовой плоскости. Наиболее устойчивой будет инвариантная кривая с
числом вращения вида
а = [аъ . . . , а", 1, 1, . . . ], (4.4.12)
где аъ . . . , ап характеризуют определенную область фазовой плоскости.
Численные результаты показывают, что и в этом случае вычет имеет тот же
предел (4.4.11), а значение р = 1/4 обеспечивает быструю сходимость.
Помимо разложения в непрерывную дробь, можно использовать и другие
аппроксимации а и соответствующие им системы периодических точек.
Например, Лансфорд и Форд [286] использовали представление а-1 = k± 1 In,
где k, n - целые числа, причем п пробегает значения в интервале !</"
п0. Этот метод
оказался удобным, хотя и не очень точным. Еще один метод, основанный на
фрактальных диаграммах, был предложен Шмидтом и Билеком [364]. Мы сравним
его с методом Грина в п. 4.46.
Другие результаты. В работе Грина [165] получены и другие интересные
результаты. Рассмотрим кратко некоторые из них. Прежде всего из (4.4.2)
следует, что значение R = 1/4 соответствует о = л/3. Это означает, что
разрушение инвариантных кривых в какой-либо области фазового пространства
соответствует возникновению вторичных резонансов шестой гармоники вокруг
периодических эллиптических точек с большими s->oo. Но то же самое
происходит в стандартном отображении и для неподвижной точки (s = 1), т.
е. в противоположном пределе по s. Фактически численные результаты Грина
показывают, что все периодические траектории с а = agn обладают этим
свойством.
Другой результат Грина имеет большое практическое значение для проведения
численных исследований. Он показал (подробнее см. § 5.5), что при
численном счете траектории, лежащей на инвариантной кривой, ошибки счета
значительно больше вдоль кривой, чем поперек *). Поэтому численное
определение самой инвариантной кривой можно производить на очень большом
числе итераций без существенного ее искажения.
Наконец, укажем, что метод Грина можно использовать для проверки
интегрируемости системы. Если R = 0 во всем фазовом
1 По этому поводу см. также работу [57].- Прим. ред.
274
Глава 4
пространстве, то собственные значения линеаризованного отображения равны
= 72 = 1, а матрица отображения имеет вид (3.3.71). Это означает
отсутствие резонансной структуры движения и поэтому такая система
является, по-видимому, полностью интегрируемой.
* 4.46. Численные эксперименты
Численный алгоритм. Схематически методика вычислений Грина [164-166]
сводится к следующему.
1. Приводим задачу к исследованию отображения, такого, например, как
стандартное отображение, или отображение Улама. В общем случае для
системы с двумя степенями свободы это может представлять некоторые
трудности. По заданному гамильтониану отображение можно получить методами
теории возмущений (см. п. 3.16) или же с помощью интегрирования уравнений
движения на периоде отображения. В некоторых случаях удобно использовать
внутреннюю симметрию системы, как это было сделано Грином [166] в задаче
Хенона-Хейлеса.
2. Находим точное положение эллиптических неподвижных точек (k = 1) по
возможности аналитически.
3. Численно находим зависимость а от расстояния до неподвижной точки
вдоль линии симметрии. Для иррациональных а это делается путем усреднения
за большое число итераций отображения, а для рациональных чисел а = r/s -
за s итераций.
4. Выбираем последовательность подходящих дробей ап = = rn/sn, сходящуюся
к некоторому иррациональному числу а, которое соответствует исследуемой
инвариантной кривой. Если мы интересуемся переходом к глобальной
стохастичности, то в некоторых системах, как, например, стандартное
отображение, в качестве а выбираем золотое сечение (а = ag).
5. Находим линеаризованное отображение А вблизи периодических точек с а"
= rjsn:
Xsn - xn = A -{х-х"),
где xSfl - значение х после sn итераций отображения, а хп ¦- положение
исследуемой периодической точки. Матрица А находится обычно численно с
помощью соотношений, приведенных в п. 3.36.
Численные результаты. На рис. 4.4 показаны численные результаты Грина для
четырех траекторий стандартного отображения с К = 0,97. Это значение К,
по всей видимости, лишь немногим ниже критического значения, разрушающего
последнюю инвариантную кривую. Вследствие симметрии фактически существуют
Переход к глобальной стохастичности
275
две такие инвариантные кривые, которые расположены по обе стороны от
полуцелого резонанса. Видно также, что траектория вблизи сепаратрисы
