Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
которых похожа на фазовую плоскость стандартного отображения. Примером
является задача о движении частицы в магнитном поле и поле косой волны
[383, 385] (см. п. 2.26). Соответствующий гамильтониан в системе отсчета
волны имеет вид [см. (2.2.67) ]
Н = "ЧТГ' - Р4Ю + Р<р(r) + есФ0 2 fm [kj.p(Pф)[ siп(гф - тц>),
2М т=-оо
(4.3.21)
Выбрав Рф таким, чтобы f т было порядка единицы, авторы этих работ
исследовали несколько близких к резонансу гармоник. Их результат для т -
- 1, 0,1 приведен на рис. 2.10, б. Ясно виден вторичный резонанс пятой
гармоники внутри первичного резонанса (в данном случае возмущение имеет
нечетные гармоники). Видно также, что между резонансами нет инвариантных
кривых, поскольку случайно разбросанные точки представляют одну
траекторию, которая свободно блуждает между первичными резонансами.
Ч К сожалению, эта красивая картина одновременного перекрытия резонансов
на всех уровнях несправедлива даже качественно, поскольку при перекрытии
системы резонансов их центры остаются еще долго неразрушенными. Для
стандартного отображения, например, граница стохастичности соответствует
К = Кь " 1, а разрушение центра целых резонансов происходит только при К
= Ks = 4. Формально, это связано с тем, что уравнение (4.3.20) не имеет
решения при ^ 2, а при % = я оно несправедливо.- Прим. ред.
Переход к глобальной стохастичности
267
4.36. Сепаратриса
Чтобы исследовать структуру вторичных резонансов вблизи сепаратрисы,
нужно сначала найти выражение для переменной действия. Это можно сделать
либо по теории возмущений, отправляясь от движения по невозмущенной
сепаратрисе, либо вычислить действие прямо из точного решения для
маятника вблизи сепаратрисы (см. п. 1.3а). Хотя оба метода требуют
довольно сложных вычислений, выражение для переменной действия было
найдено многими авторами, и мы приведем полученные результаты, не
вдаваясь в детали самих вычислений. Ниже мы будем следовать работе Смита
[383 ] и Смита и Перейры [387 ], где действие было получено
непосредственно из точного решения.
Гамильтониан маятника (4.1.27) можно записать в переменных J, ф согласно
(1.3.10) и (1.3.11). Для колебаний маятника имеем
/ = co0(JL) [#(*)_(!_н2)Ж(к)], х<1, (4.3.22)
где <% и Ж - полные эллиптические интегралы первого и второго рода, и
Н
2х2 = 1 -Г!-
(4.3.23)
откуда х = 1 при Н = со0 = К, т. е. на сепаратрисе. Частота колебаний
маятника, согласно (1.3.13), имеет вид
1
- Л (Оо
со(х)= -------------- ,
4 ' Ж (X)
асимптотическое значение при х 1 равно
1
- ЛС00
со (х) =
!п
(4.3.24)
(4.3.25)
(1 - X2)1/ 2
Параметр перекрытия вторичных резонансов (4.3.18) можно
записать в виде
2Л JK
= 2
6 J
Atdiо dJ
У" I
О)
(4.3.26)
где все величины берутся для резонансного значения J
/со (/) = 2я, (4.3.27)
и /- четное число. Поскольку
da da dx
dJ
dx dJ
(4.3.28)
268
Глава 4
то из (4.3.22) и (4.3.23) получим после некоторых преобразований dco
1 kPJ
dJ
16
(4.3.29)
Величина Л/ определяется из разложения Фурье для третьего члена в
(4.1.26) с заменой 2К -> V и 9-> 0 (7, q>) из (1.3.11). После довольно
громоздких вычислений Смит и Перейра нашли ([387],
приложение А):
Ai = V -
ж(х)
lq
12
где
; ехр
1-(-' = 2т,
- л ж [ (1 -
-q)1
(4.3.30а)
/.2)
П]}
X (у.) J
(4.3.306)
Подставляя (4.3.29) и (4.3.30) в (4.3.26), можно получить параметр
перекрытия 2А/макс/6/ в зависимости от энергии Н.
Вблизи сепаратрисы х2 1 и
лф о
= ехр
Рис. 4.6. Относительная доля г фазового пространства, в которой
выполняется простой критерий перекрытия, в зависимости от числа вращения
се = а>п/2я (по данным работы [145]).
где Qo = 2л/со0 - отношение частоты возмущения к частоте малых колебаний
маятника. Используя
(4.3.30а) с V = 2К = 2со^ и опуская малое слагаемое (- q)1, получаем
Л/ = 16ясоехр ^ - л-~°
Подставляя это выражение вместе с (4.3.29) в (4.3.26), имеем
( 2 Д /макс V '6 /тЗ""" /
-Q"exp(-
jtQo
67 / п ' • v 2
Из (4.2.20) и (4.3.23) находим соотношение
1 -х2.
w
2
(4.3.31)
(4.3.32)
Переход к глобальной стохастичности
269
Введем параметр стохастичности /С2 для вторичных резонансов с помощью
условия перекрытия (4.2.1) для стандартного отображения
что в точности совпадает (при w - шх) с результатом (4.2.22), полученным
из сепаратрисного отображения.
Фукуяма и др. [145] исследовали простой критерий перекрытия вторичных
резонансов в задаче о взаимодействии частицы с волной, используя
эллиптические интегралы с некоторыми упрощениями. На рис. 4.6
представлены их результаты для зависимости относительной доли г фазового
пространства, где выполняется простой критерий перекрытия [параметр
перекрытия (4.3.26) равен единице], от числа вращения
Видно, что быстрый рост стохастической компоненты происходит примерно при
а да 0,2, т. е. при появлении вторичных резонансов пятой гармоники. Это
согласуется с приведенными выше данными.
*§ 4.4. Резонансы высоких гармоник * 4.4а. Основы метода Грина
Рассмотрим развитый Грином [164, 165] метод, который позволяет найти
