Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
возмущением частоты 2я, который называется поэтому вторичным резонансом.
Поскольку исследование в общем виде является довольно громоздким, мы
рассмотрим отдельно вторичные резонансы вблизи центра первичного
резонанса и вблизи его сепаратрисы.
4.3а. Центр резонанса
Особенности вторичных резонансов вблизи центра первичного резонанса (т.
е. его эллиптической точки) детально исследованы в п. 2.46. Переходя к
переменным действие-фаза(/, ф)для маятника с гамильтонианом
/2 9 Я0 = ------(- со5 cos 6
и используя методы, описанные в п. 2.2а, получаем в
первом порядке теории возмущений новый гамильтониан [ср. с
(2.4.43) ]
Но (J) = со0/ J2 (4.3.1)
ib
и частоту колебаний
со = со0 l-J. (4.3.2)
О
Рассмотрим несколько более общий вид гамильтониана (4.1.26), введя
амплитуду V и фазу 0О возмущения:
Ях = V cos(0 + 0О) cos Qt. (4.3.3)
г) Помимо этого, точное положение границы стохастичности зависит от
расположения крайнего целого резонанса относительно критического ис, где
К {ис) - 1. Подробное обсуждение этого вопроса см. в работе [70, § 6.2].-
Прим. ред.
264
Глава 4
В переменных /, ср
HX = V cos
^ ^ БШф -f во
cos (Qt). (4.3.4)
Разложим Hj в ряд Фурье:
Я1 = V/о (X) cos 0ocos П/ -f V cos 0О 2 (х) [cos (Zo|j - QO -f-
l = 'Jm> 0
+ cos (/ф + Q/)] - V sin 0O 2 (x)[sin(Ap -n/)^-sin(Ap Д Q/)I,
I -2m -I >0
(4.3.5)
где m - целое^число,
*iJ)~ (4A6)
a f i - функция Бесселя первого рода. Для укороченного стандартного
отображения (4.1.26) V = 2К, П/ = 2яге, 0о = О и остаются только четные
гармоники по ср.
Среднее от Нг по t отлично от нуля лишь вблизи резонансных значений J =
/0, для которых
/со (/") = Q, (4.3.7)
где со (/) - частота колебаний маятника. Поэтому, как и в п. 2.46, можно
использовать резонансную теорию возмущений, переходя к медленной фазе
$ = /ф-Ш (4.3.8)
и сопряженной переменной
J = -у-- (4.3.9)
Преобразуя гамильтониан и разлагая его около резонансного значения J =
/0, получаем
АЯ =
(^ + Л; sin ф. (4.3.10)
V dJ2 Л 2
Здесь
( cos 0О; / = 2 ш,
A, = Vf,(Xo)x ( _sin0o; ^2m_j (4.3.11)
й, согласно (4.3.1) и (4.3.9),
• (4.3.12)
8
Гамильтониан (4.3.10) описывает вторичные резонансы и имеет
Переход к глобальной стохастичности
265
ту же форму, что и гамильтониан (4.1.27), описывающий первичные
резонансы. Расстояние между вторичными резонансами по частоте равно
6(0 = (О (У,) -(О (Уг+1) = -j- (4.3.13)
Если присутствуют только четные или только нечетные гармоники, то бсо =
2(0,7. Из (4.3.2) и (4.3.9) имеем
бсо = - 18 J. (4.3.14)
8
Это означает, что расстояние по переменной действия равно
б/ = -8msQ) -, (4.3.15)
Р
где ms - 1, когда симметрия отсутствует, и ms - 2, если
имеется
четная или нечетная симметрия. Аналогично можно получить мак-
симальную полуширину сепаратрисы:
Д/м.кс = (-у-) (8Л,)'/* (4.3.16)
и частоту малых фазовых колебаний:
(4-3-17)
(4.3.18)
Уравнения (4.3.14) - (4.3.17) дают параметр перекрытия
2 A Jмакс 4 оц
б7 ms <*>
для вторичных резонансов.
Этот параметр обычно очень мал, если только параметр перекрытия для
первичных резонансов не становится большим. Например, для гамильтониана
(4.1.26) с ms = 2, V = 2/С, со " со0 = = К1/2 параметр перекрытия равен
~ЛУ"а"е - =U2f i (х)]1/2- (4-3.19)
б J
Наибольшее значение аргумента функции Бесселя % = л достигается на
сепаратрисе первичного резонанса. Для I > я функция Бесселя
экспоненциально мала, и вторичные резонансы несущественны. По этой же
причине можно пренебречь и третичными и т. д. резонансами.
Теперь мы можем оценить, при каком числе вращения вторичные резонансы
столь же важны, как и первичные. Приравнивая .параметры перекрытия
(4.3.19) и (4.1.31) для одного и того же
266
Глава 4
числа вращения (Q0 = I) и учитывая, что максимальный размер вторичного
резонанса достигается вблизи сепаратрисы первичного при 7 = л, получаем
16. (4.3.20)
Это соотношение приближенно выполняется для / = 4 и I = 6 (нечетные
гармоники отсутствуют). Поэтому можно ожидать, что взаимодействие
вторичных резонансов будет столь же существенно, как и для первичных
резонансов при таком значении параметра стохастичности К, когда в центре
первичного резонанса появятся вторичные резонансы с / = 4 и / = 6. По
индукции то же справедливо и для резонансов всех уровней. В итоге мы
приходим к следующему весьма существенному выводу: при достижении
критического числа вращения а & 1/5 для первичных резонансов резонансы
всех уровней характеризуются тем же самым числом вращения и одинаковым
значением параметра перекрытия. Такой вывод о резком разрушении последней
инвариантной кривой между резонансами является, таким образом, весьма
правдоподобным с физической точки зрения 1). Соответствующий этому
переходу параметр возмущения получается из (4.1.28) и равен К = 1,2.
Численные исследования структуры вторичных резонансов стандартного
отображения отсутствуют. Однако они проделаны для большого числа
гамильтонианов с двумя степенями свободы, поверхность сечения Пуанкаре
