Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если сложить (4.1.16а) и (4.1.16в), видно, что имеются два
случая:
а) 02 = - 0j и б) 02 = 0!-л, причем O+0i sc л.
Для случая
"а" из (4.1.16) следует соотношение
2 л р - 401 = /Csin01, (4.1.19)
которое определяет 0!. Это выражение при р = т1-т2 = 1 дает
первичные периодические точки, а при рД> 1 -бифуркационные. Условие
устойчивости (4.1.18) принимает вид
- 4<Kcos0!<O. (4.1.20)
Первичные точки (/1>2 = 2л (т2 + 1/2); 0lt2 = + л/2 при К С 1)
неустойчивы для любых К, поскольку 0Х + л/2. Первые бифуркационные точки
возникают при К = 4, когда неподвижная точка (.1г = 2лш2, 0Х = л)
становится неустойчивой, и остаются устойчивыми при 4+Л/<2л. Интервалы
устойчивости имеются для сколь угодно больших К, если при этом р
достаточно велико.
В случае "б" из (4.1.16) следует соотношение
2л (р-1) = /С sin 0Х, (4.1.21)
которое определяет 01( а условие устойчивости принимает вид
К2 cos20!<4. (4.1.22)
Здесь также имеются первичные точки /Ь2 = 2л (т2 + 1/2);
0! = л; 02 = 0, устойчивые при K<Z2. Первые бифуркационные
точки для р = 2 возникают при К = 2л, когда аналогичные точки
в случае "а" становятся неустойчивыми. Для случая "б" точки устойчивы при
6,28+ K<L6,59. Как и в случае "а", имеются интервалы устойчивости для
произвольно больших значений К'-
(2л)2 {р- I)2 < К2<(2л)2 (р -1)2 + 4. (4.1.23)
Отметим, что другие отображения могут и не иметь этого специфического
свойства [272]. Периодические точки большего периода (?>2) исследованы
Шмидтом [363] и Шмидтом и Билеком [364].
Граница стохастичности. Численно легко получить сотни тысяч итераций
стандартного отображения (4.1.3) и, таким образом, исследовать его
динамику для различных значений К и начальных
254
Глава 4
условий. На рис. 4.3 показано изменение структуры фазовой плоскости с
ростом К- При малом К ясно видны первичные эллиптические точки k = 1, 2,
а также гиперболические точки с их стохасти-
в
К = 0,5
в
X = 1,0
в
К = 2,5
55 <¦ ' ::
2тг 0
в
X = 4,0
Рис. 4.3. Фазовая плоскость стандартного отображения для разных К. (по
данным работы [22]).
а - локальная стохастичность вблизи сепаратрис; вндны целый и полуцелый
резонансы* 6 - глобальная стохастичность; в - полное разрушение
полуцелого резонанса; виден вторичный резонанс 4-й гармоники вокруг
неподвижной точки; г - первичная неподвижная точка на пороге
устойчивости; инвариантные кривые вытянуты по направлению рождения двух
бифуркационных точек.
ческими слоями. Переход от локальной к глобальной стохастичности
происходит между К = 0,95 и К = 1,00. Более детальные численные
исследования дают для границы стохастичности
Переход к глобальной стохастичности
255
К ~ 0,9716 (§ 4.4). С ростом К первичные точки периода 2, а затем и
периода 1 становятся неустойчивыми, однако, как видно из рисунка,
островки устойчивости существуют и при больших К-Таким образом,
стандартное отображение, в котором для любого ненулевого значения К нет
ни полной интегрируемости, ни сплошного хаоса, является характерным
представителем типичной гамильтоновой системы.
На рис. 4.4 показаны четыре траектории стандартного отображения для К -
0,97, чуть ниже границы стохастичности. Две из них лежат на инвариантных
кривых, изолирующих стохастические слои целого (k = 1) и полуцелого (k -
2) резонансов. Однако резонанс с k = 4 уже поглощен стохастическим слоем
целого резонанса.
Гамильтониан. Аналогично отображению Улама (п. 3.4д) гамильтониан
стандартного отображения получается с помощью периодической 6-функции и
имеет вид
т 2 00
Н - -f К cos 0 ? ехр (2лimn), (4.1.24)
2 m - - оо
где номер итерации п играет роль времени. Предположим, что 0 -- медленная
переменная:
- "2я. (4.1.25)
dn
Учитывая, что основной вклад дают члены с медленно меняющейся фазой,
оставим только слагаемые сга = 0ии = ±1:
Н = К cos 0 4- 2К cos 0 cos 2лп. (4.1.26)
Последний член в правой части будем считать возмущением, тогда
невозмущенный гамильтониан
H0 = -j-+ Kcos0 (4.1.27)
описывает маятник (п. 1.3а). Его фазовая плоскость показана на рис. 1.4.
Частота малых фазовых колебаний вблизи эллиптической точки 0 = л равна:
(о0 = А12, (4.1.28)
а амплитуда колебаний по / есть
A/MaKc = 2A12. (4.1.29)
Поскольку расстояние 81 между целыми резонансами равно для стандартного
отображения его периоду 2л, параметр перекрытия резонансов имеет вид
2А/макс 4АД2 I
81 ~~ 2я
256
Глава 4
Это отношение можно выразить через частоту малых фазовых колебаний
(4.1.28) или локальное число вращения а0 = со0/2я:
4а0 = -^- (4.1.31)
О/ Vo
Здесь Q0 = 1/а0 - период малых колебаний, выраженный в числе итераций
отображения. Соотношение (4.1.31), связывающее отно-
о
Рис. 4.4. Четыре траектории стандартного отображения для К = 0,97 (по
данным работы [165]).
Верхняя и иижияя группы точек принадлежат одной траектории.
сительный размер резонанса с его числом вращения, справедливо для всех
соседних резонансов любого порядка *). Например, из того, что согласно
численным данным граница стохастичности приблизительно соответствует
