Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, из приведенного примера видно, что именно синхронные
взаимодействия между модами определяют форму возникающих в результате
неустойчивостей пространственных структур. Конкуренция же обеспечивает
устойчивость этих структур по отношению к нерезонансным возмущениям.
Помимо поисков и открытий новых видов структур и исследования механизмов
их образования в теории самоорганизации сегодня появилась новая
увлекательная область - направленная организация структур с помощью
внешних полей. Чтобы проиллюстрировать нетриви-альность задач подобного
рода, приведем один сравнительно простой пример. Рассмотрим влияние
статического периодического в пространстве поля на диссипативные
структуры в одномерной среде. Исходным будет уравнение диффузии
du/dt - -udu/dx + 7и + vd2u/dx2 + Uq sin qx.
При Uq = 0 в такой среде существуют диссипативные структуры, описываемые
уравнением осциллятора d2u/dx2 - d(u2/2)dx + 7и = 0.
В присутствии периодической неоднородности ~ Uq естественно ожидать
навязывание периодической структуры заданного периода. Однако даже при
слабой неоднородности (малом Uq) структуры оказываются стохастическими
[25].
Анализ поведения диссипативных структур или бегущих импульсов во внешних
полях представляет собой частный случай задачи о поведении когерентных
образований в поле друг друга, т. е. задачи об их взаимодействии. Сюда
относятся задачи о столкновении нервных импульсов, фронтов горения,
цилиндрических и спиральных волн. Очевидный интерес представляет анализ
взаимодействия структур разного типа и природы. В этих направлениях уже
имеются определенные успехи. Отметим, в частности, эксперимент Агладзе и
Кринского [25], в котором на примере двумерной реакции Белоусова-
Жаботинского наблюдалось взаимодействие спиральных вихрей со структурами
типа бенаровских ячеек. В результате такого взаимодействия реакция пере-
24.4. О механизмах самоорганизации
527
ходила в стохастический режим, появлялась "химическая" турбулентность.
В [29, с. 7-44] обсуждены проблемы, связанные с формированием
автоструктур (не зависящих от начальных и граничных условий
локализованных образований) в неравновесных диссипативных средах, и
исследована динамика пространственных ансамблей таких структур. В
частности, проведен анализ простой модели - одномерного ансамбля не
взаимно связанных структур, представляющих собой цепочку, состоящую из
элементов, динамика которых описывается одномерным отображением типа
параболы. Напомним, что такое отображение описывает динамику самых
различных физических систем, демонстрирующих при изменении параметра
цепочку бифуркаций удвоения периода. Пусть параметры цепочки выбраны так,
что в первом элементе реализуется режим регулярных колебаний периода Т.
При некотором номере j элемента режим одночастотных колебаний становится
неустойчивым и возникает режим удвоенного периода, затем и он теряет
устойчивость и т. д. вплоть до установления режима хаотических колебаний.
Если каждый из элементов - автогенераторов - находился в режиме
стохастических колебаний, то при движении вдоль цепочки наблюдается
развитие хаоса - интенсивность колебаний увеличивается, а в спектре
уменьшаются выбросы (спектр "сглаживается"). В цепочке описанных
автогенераторов ван-дер-полевского типа имел место пространственный
переход к хаосу через квазипериодичность: сначала наблюдался
квазимонохроматический режим, сменявшийся затем режимом биений с большим
числом гармоник; при дальнейшем движении "вниз по потоку" этот режим
переходил в слабо хаотический. Далее хаос развивался, интенсивность
колебаний возрастала, но при достаточно больших j она уже не изменялась -
устанавливался режим пространственно однородного хаоса.
В [31] было высказано предположение, что подобные модели можно
использовать для объяснения развития хаоса не только в гидродинамических
системах (цепочка связанных друг с другом вихрей Тейлора, на которых
возбуждены азимутальные моды; ансамбль спиральных вихрей в пограничном
слое на вращающемся конусе и др.). но и в электронных потоках. Последнее
нашло подтверждение в экспериментах [32] с цилиндрическим кольцевым
электронным пучком, дрейфующим в продольном постоянном магнитном поле.
Литература
К главе 1
[1] Андронов А. А. Л. И. Мандельштам и теория нелинейных колебаний //
Академик Мандельштам: К 100-летию со дня рождения. - М.: Наука, 1979, с.
127.
[2] Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. - 3-е изд.
- М.: Физматгиз, 1981.
[3] Lotka A. Elements of physical biology. - Baltimore: Williams.
Wilkins, 1925; Elements of mathematical biology. - N.Y.: Dover, 1956.
[4] Романовский Ю.М., Степанова И. В., Чернавский Д. С. Что такое
математическая биофизика: Кинетические модели в биофизике. - М.:
Просвещение, 1971. - Гл. 1, § 1; гл. 4, §2.
[5] Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. - М.:
Наука, 1976.
[6] Шевчик В.Н. Основы электроники сверхвысоких частот. - М.: Сов. радио,
