Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 926

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 920 921 922 923 924 925 < 926 > 927 928 929 930 931 932 .. 942 >> Следующая

неоднородности волна возбуждения может быть только спиральной.
Ждущая среда (например, двумерный реактор, в котором происходит
автокаталитическая реакция Белоусова-Жаботинского) демонстрирует еще один
феномен самоорганизации - спонтанное возникновение ведущих центров.
Ведущий центр представляет собой пульсирующий источник концентрически
расходящихся волн. Существование такого источника (как и источника
спиральных волн - ревербератора) трудно вывести из (24.1) аналитически
(хотя такие работы сейчас имеются [7]), однако их довольно просто
объяснить качественно.
Рассмотрим участок однородной среды из двух связанных между собой
возбудимых элементов. Каждый из них, откликаясь на внешний импульс,
совершает один цикл колебания - последовательно переходит из состояния
покоя в состояние возбуждения, затем в состояние рефрактерности, после
чего снова возвращается в состояние покоя. Динамика таких связанных
элементов, очевидно, будет зависеть от фаз их колебаний и соотношения
времени возбуждения и рефрактерности. Если время возбуждения превышает
время рефрактерности, а состояния элементов соответствующим образом
сдвинуты по фазе, то в системе из двух неколебательных элементов
установится режим автоколебаний - элементы будут поочередно перезапускать
друг друга и в однородной среде возникнет источник концентрических волн.
524
Глава 24
Рис. 24.6. Взаимодействие концентрических волн друг с другом при
возникновении в среде нескольких ведущих центров
Подобных источников - ведущих центров в среде - может возникнуть
несколько. При этом излучаемые ими концентрические волны будут взаимно
уничтожать друг друга (рис. 24.6).
24.4. О механизмах самоорганизации
Обычно на линейной стадии нарастает широкий спектр пространственных
возмущений. Однако, когда неустойчивости резонансны, т. е. нарастают лишь
возмущения определенного пространственного масштаба. не они зачастую
определяют масштаб возникших структур, а их последующее взаимодействие с
другими. Таким образом, главным здесь представляются не особенности
неустойчивостей (хотя и они важны), а механизмы отбора и формирования
структур на линейной стадии. Здесь же довольно мало конкретных
результатов, поэтому мы ограничимся обсуждением лишь простейших
механизмов формирования различных пространственных масштабов и их
взаимной синхронизации. Сделаем это на примере бенаровской конвекции.
Ограничимся при нашем рассмотрении случаем слабого превышения над порогом
конвективной неустойчивости Ra/RaCT ^ 1 (см. гл. 21) в жидкостях с
квадратичной зависимостью вязкости от температуры. При этом поле скорости
можно представить в виде большого числа си-
24.4. О механизмах самоорганизации
525
нусоидальных мод, не учитывая их пространственных гармоник, - при малой
надкритичности нелинейность также можно считать малой. Если бы
дополнительная нелинейность, связанная с зависимостью вязкости от
температуры, отсутствовала, в подогреваемом плоском слое жидкости
устанавливалась бы простейшая конвективная структура в виде валов (см.
гл. 21). Пространственный масштаб этих валов определяется, как мы уже
говорили, конкуренцией мод с близкими пространственными масштабами. В
случаях, когда можно не учитывать граничные условия, ориентация этих
валов на плоскости произвольна и определяется лишь начальными условиями.
Дополнительная квадратичная нелинейность, возникающая из-за зависимости и
= v(T) вязкости от температуры, приводит к резонансной связи между модами
одного масштаба и различной пространственной ориентации. Простейший
вариант такой связи - это связь трех мод с одинаковыми по модулю и
развернутыми друг относительно друга на 60° волновыми векторами: ±ki ± к2
= ±/г3, где )fe,-| = к (i = 1, 2, 3). Нелинейное взаимодействие приводит
к установлению стационарной конвекции с равными амплитудами этих мод и
синхронизованными фазами (как и в рассмотренном примере). В результате
поле скорости принимает вид
vz(x, у) ~ cos(kx/2) cos[(l/4)(fc.-r + \/3ку)) cos[(l/4)(fca; - \/3ку)]
(24.14)
(vz - вертикальная компонента скорости жидкости). Ориентация ячеек в
пространстве произвольна и зависит лишь от начальных условий. Для
нахождения решения, описывающего такую структуру, vz следует представить
в виде
vz = f(z)[ai(t) cos кх + 02 {t) со&(кх/2 - \fbkyf2) +
+ a3(t) cos(fcx/2 + \/bky/2)]. Для действительных амплитуд можно получить
уравнения Ai = hA\ j^l + <jА.2 - /3А\ + ^(Дг 4" А*)] .
Л2 = hA2 [l + сгД3 - (ЗА22 + 5{А23 + Л?)] . (24.15)
А3 = ЬАз [l + aii - (iA\ + 6{А\ + AI)] .
526
Глава 24
Таким образом, линейная неустойчивость переходит во взрывную, вызванную
взаимодействием параметрических связанных мод на диссипативной
нелинейности (а ~ dv/dT). Ограничение неустойчивости происходит за счет
кубичной нелинейности в зависимости вязкости от температуры. Система
(24.14) имеет устойчивое стационарное решение Ai = ±А2 = ±А3, которое и
соответствует шестигранным призматическим ячейкам(см. рис. 24.1а).
Предыдущая << 1 .. 920 921 922 923 924 925 < 926 > 927 928 929 930 931 932 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed