Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 92

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 942 >> Следующая

говоря, очень медленной по сравнению с диффузией в областях глобальной
стохастичности. Поэтому в практическом отношении понятие границы
стохастичности остается содержательным и для многомерных систем.
*4.16. Стандартное отображение
Для вычисления границы стохастичности используем в качестве модели
стандартное отображение (3.1.22). Это позволит нам аналогично Чирикову и
Грину исследовать переход к стохастичности в терминах параметра
стохастичности К- Мы уже видели в п. 3.16, что стандартное отображение
локально аппроксимирует более общие нелинейные отображения. Покажем
прежде всего, что это распространяется и на отображение Улама, и на
сепаратрисное отображение.
Для удобства перепишем отображение Улама (3.4.6) еще раз:
Чтобы получить стандартное отображение, линеаризуем (4.1.16)
[401].
"n+i = |"n + sinrp" |, Фл+1 = фп + 2я М/ип+1.
(4.1.1а)
(4.1.16)
*) Это правило справедливо только в случае перекрытия близких по ширине
резонансов, см. рис. 4.12.- Прим. ред.
250
Глава 4
по переменной действия и вблизи неподвижной точки и = и1. Согласно табл.
3.1, имеем
2лМ г, / , I m
= 2л т, (4.1.2)
"1
где т - целое число. Подставляя ип = их + Аи" и сдвигая фазу 0Я = фп - л
(-л<0" sg л), получаем стандартное отображение
(4.1.3а)
где
/я+1 - Н К sin0", 0Я + 1 - 9Я + Н+Ъ
г -2яМДи"
7 м -
(4.1.36)
(4.1.4)
есть новая переменная действия, а
2яМ
к-
(4.1.5)
- параметр стохастичности. Следовательно, параметр К связан со старой
переменной действия их. Переход от отображения Ферми к стандартному
отображению иллюстрируется на рис. 4.2 для двух значений ult приводящих к
различным значениям К-
Проделаем то же самое с сепаратрисным отображением (3.5.26):
wn+1 = wn-toosin0n, (4.1.6а)
0"+1 = 0" + Qoln 32
Wfl+l
Неподвижные точки w - wl даются выражением
32
Qoln
= 2пт.
(4.1.66)
(4.1.7)
Подставляя w" - w1 + Awn и линеаризуя по w, снова получим стандартное
отображение (4.1.3), где
-Q0Awn
In-
(4.1.8)
К-
Q0w0
(4.1.9)
Неподвижные точки. Неподвижные точки стандартного отображения получаются
из условия:
1г = 2лт,
01 = О, л.
Для каждого целого числа т имеются две неподвижные точки.
(4.1.10)
Переход к глобальной стохастичности
251
Линеаризуя
вания:
.1.3а), как и в п. 3.4в, получим матрицу преобразо-
К\
(4.1.11)
-С ± I
1 ±к)'
О-по Вражгние Улана
20
15
10
К< 1
К> I
СгпанЗартное
отображение
ело
- 4тг .
/
• 2тг
~0
2тг
Рис. 4.2. Локальная аппроксимация отображения Улама стандартным
отображением.
а - локальная стохастичность для малых К (исходное отображение
линеаризовано в окрестности б - глобальная стохастичность для больших К.
(линеаризация в окрест"
ИОСТИ
252
Г.шоа 4
где верхний знак соответствует 0Х = О, а нижний 0J =
я. При
этом det А= 1, как и должно быть для отображения,
сохраняю-
щего фазовую площадь. Согласно (3.3.55), условие устойчивости зависит от
следа матрицы А и имеет вид
I 2 ± /С |<2. (4.1.12)
Поэтому неподвижная точка 0! = 0 всегда неустойчива 1), а эллиптическая
точка 0! = я превращается в гиперболическую с отражением при
А> 4. (4.1.13)
В этом случае все неподвижные точки становятся неустойчивыми.
В общем случае отображение всегда периодично по фазе 0, но не по I.
Однако стандартное отображение периодично также и по / (4.1.36). Эта
особенность приводит к существованию неподвижных точек другого типа. С
учетом периодичности по / соотношения
(4.1.10) нужно заменить теперь на следующие:
1ц = 2пт, А ып01г = 2я/, (4.1.14)
где т, I - целые числа.
"Неподвижные" точки с IФ 0 соответствуют на самом деле ускорительным
режимам движения [70], поскольку / увеличивается на 2л/ при каждой
итерации. Условие устойчивости(4.1.12) заменяется на
| 2 ± К cos Qи |<2. (4.1.15)
Отсюда и из (4.1.14) следует, что с ростом / (и уменьшением cos0j;)
интервалы устойчивости существуют для сколь угодно больших значений К¦ В
отличие от этого для / = 0 имеется граница устойчивости К<4. Это является
любопытной особенностью именно стандартного отображения, и поэтому не
следует искать ускорительные режимы в отображениях, которые лишь локально
аппроксимируются стандартным отображением.
Периодические точки. Чириков [70], Грин [165], Лихтенберг и др. [272], а
также Шмидт [363] исследовали различные семейства периодических точек
(?>1). Их можно разделить на два класса: первичные, которые существуют и
в пределе К -0, и бифуркационные, которые возникают только выше
некоторого порогового значения К-
Остановимся подробно на периодических точках с периодом k = 2. Такие
точки образуют пары: (/ь 0Х) и (/2, 02)- Итерируя отображение дважды,
получаем
/2 = sin(c)!, (4.1.16а)
02 = 01 +/2 - 2птъ (4.1.166)
х) Считается, что К > 0.- Прим. ред.
Переход к глобальной стохастичности
253
/г = /2 + /С sin 02, (4.1.16в)
01 = 02 + /!-2птг, (4.1.16г)
где т1 и т.2 - целые числа. Условие устойчивости определяется следом
матрицы
/1 Kcos02\/1 К cosOA
A = (l 1 + К cos 02/ \1 l+ZCcosoJ (4-1.17)
и приводится к виду
•-4<2К (cos 0Х - cos 02) К2 cos 0xcos 02"<О. (4.1.18)
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed