Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
"не своим" состояниям равновесия: С~ и С+ соответственно. При г = г2
сепаратрисы Г+ и Г~ "наматываются" на седловые траектории Ьх и i2 (рис.
22.20г).
3. При г2 < г < г*, где г* = 24,74, в системе наряду с устойчивыми
состояниями равновесия существует еще притягивающее множество,
характеризующееся сложным поведением траекторий - аттрактор Лоренца (рис.
22.20д).
4. При г->г*, как уже говорилось, седловые циклы Ьх и Ь2 стягиваются к
состояниям равновесия С+ и С-, которые при г = г* теряют устойчивость, и
при г ^ г* аттрактор Лоренца является единственным притягивающим
множеством системы (22.20).
Таким образом, если устремить г к г* со стороны меньших значений, то
стохастичность в системе Лоренца возникнет сразу, скачком, т. е. имеет
место жесткое возникновение стохастических автоколебаний.
22.5. Пути возникновения странных аттракторов
487
Переход через перемежаемость. В приложениях (см. гл. 23) встречается
переход к стохастичности, который на осциллограмме выглядит как
постепенное (при изменении параметра) исчезновение периодических
колебании за счет прерывания их стохастическими всплесками -
перемежаемости (рис. 22.21а). Этот переход также можно описать с помощью
не взаимно однозначного отображения отрезка в себя. Пусть имеется
некоторое отображение (рис. 22.216). Его характерной особенностью
является наличие наряду с растягивающими участками 1 и 2 участка 3.
Пересечению этого участка отображения с биссектрисой соответствуют две
неподвижные точки - устойчивая и неустойчивая.
Рис. 22.21. Переход к стохастичности через перемежаемость: а -
осциллограмма стохастических колебаний, возникающих непосредственно после
перехода к стохастичности; б - модельное одномерное отображение,
соответствующее предтурбулентному режиму (г > гкр); в - отображение при г
> 7кр; г - отображение, соответствующее модели Лоренца при г = 166,2
Hww
а)
У"+1
Уп+1
О
40 L"7"
г)
в)
488
Глава 22
Ввиду того, что в основной своей части отображение является
растягивающим, переходные процессы в такой системе могут быть достаточно
сложными. Однако при t -> оо все траектории стремятся к единственному
аттрактору - устойчивой неподвижной точке, которая соответствует
устойчивому периодическому движению. Пусть теперь при изменении параметра
участок 3 поднимается над биссектрисой. При этом устойчивая и
неустойчивая неподвижные точки будут сближаться, затем сольются и
исчезнут - устойчивое периодическое движение исчезает (рис. 22.21в). Если
деформированное таким образом отображение оказывается в среднем
растягивающим, то новые (более высокой кратности) устойчивые
периодические точки не возникнут, и система будет двигаться
стохастически.
Непосредственно вслед за слиянием и исчезновением неподвижных точек (т.
е. строго периодического движения) для системы будет характерен
длительный переходный процесс, соответствующий прохождению траекториями
области вблизи только что исчезнувшего периодического движения
("ламинарная" фаза). После прохождения этой области система движется
случайно ("турбулентная" фаза) до тех пор, пока вновь не попадет в
упомянутую область и т. д.
Отображение, представленное на рис. 22.21г, соответствует обсуждавшейся
нами системе Лоренца при достаточно больших числах Рэлея, г = 166,2, а =
10, Ь = 8/3. Из вида этого отображения следует, что и в системе Лоренца
также возможен переход к стохастичности через перемежаемость [26]х.
Таким образом, в приведенном примере переход к стохастическому поведению
через перемежаемость связан со слиянием и последующим исчезновением
устойчивой и неустойчивой периодических траекторий. Этот же переход
реализуется и в многомерных системах. Соответствующая бифуркация,
приводящая к возникновению сложного поведения, описана в [27].
Возникновение стохастичности за счет разрушения квазипериоди-ческих
движений. В автоколебательных системах с несколькими степенями свободы
вне полосы взаимной синхронизации наблюдаются биения. В спектре таких
автоколебаний содержится несколько несоизмеримых частот (не более двух-
трех), а в фазовом пространстве им соответствует притягивающая
незамкнутая намотка тора (соответственно
1При движении со стороны больших чисел Ra ^ 250 в системе Лоренца
наблюда-ется возникновение стохастичности за счет последовательности
бифуркации удвоения периода.
22.6. Размерность стохастических множеств
489
двух- или трехмерного). Когда параметры системы попадают в область
синхронизации, на торе появляется предельный цикл. Потеря устойчивости
этим предельным циклом одним из рассмотренных выше способов тоже может
привести к возникновению странного аттрактора. Добавим. что странный
аттрактор может возникать, как показано в [28], и непосредственно вслед
за разрушением трехмерного тора (см., например. [29]).
Здесь нет возможности углубляться в соответствующие математические
расчеты. Описание же физических процессов, соответствующих разрушению
торов, мы отложим до § 23.2, где обсуждаются механизмы возникновения
