Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 910

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 904 905 906 907 908 909 < 910 > 911 912 913 914 915 916 .. 942 >> Следующая

Ш1 и и>2, т. е. когда а3 = 7303, 07 = - сг2 = -г'гаг, существенно зависит
от соотношения 73 и z/i)2. Численный анализ показывает [20], что
хаотический обмен энергией между такими модами реализуется в достаточно
широкой области параметров. Хаос возникает в результате возникновения
цепочки последовательных бифуркаций удвоения периода. Наглядное
исследование структуры получающегося странного аттрактора затруднительно,
поскольку следующая из (22.17) в случае щ ф v2 система дифференциальных
уравнений имеет порядок, равный четырем. Более перспективным в этом
отношении является анализ вырожденного случая щ = v2. Поскольку амплитуды
одинаково затухающих низкочастотных волн при t -" 00 выравниваются (это
нетрудно показать, воспользовавшись (22.17)), то система (22.17) может
быть представлена в форме
X = Z - 2Y2 + S'Y + X,
Y = 2XY - 8'Х + Y, (22.18)
Z = -2 Z(X + и).
Здесь X = (|о-з|/7з) cosip, У = (]a31/73) cos-0, Z = |ali2|2/73, ip =
arga3 - 2argai;2 - 8, и = У = <5/7з- При точном синхро-
низме ((5 = 0) и ы > 1/2 все траектории в фазовом пространстве системы
(22.18) при t -> эс стремятся к плоскости Z = 0 или Y = 0. Это следует из
того, что функция Р = ZY удовлетворяет уравнению dP/dt = = (1 - 2v)P, т.
е. Р -> 0 при t -> 00. На плоскостях Z = 0 и Y = 0 отсутствуют устойчивые
состояния равновесия или предельные циклы, и все траектории по ним уходят
в бесконечность. Стабилизация неустойчивой моды за счет передачи энергии
равноправным низкочастотным модам в этом случае, следовательно,
невозможна. Однако стабилизация возможна при ненулевой, хотя и очень
малой расстройке. Поток энергии при этом в зависимости от параметров
оказывается либо постоянным во времени (в фазовом пространстве -
устойчивое состояние равновесия), либо периодическим (предельный цикл),
либо случайным образом пульсирует (стохастический аттрактор).
Так, при S = 2 и v ф 3 поглощения на низкочастотных модах еще
недостаточно для стабилизации неустойчивости. При 3 ^ v ф 8,5
стабилизация есть -- устанавливается простой периодический режим
482
Глава 22
обмена энергией, затем - при v > 8,5 - начинается последовательность
бифуркаций удвоения периода этого периодического движения
(при v ^ 11,9 появляется четырехкратный цикл, при v ^ 13,5 -
восьмикратный и т. д.). При больших затуханиях реализуется хаотический
режим [19].
Аналогичные бифуркации удвоения периода, приводящие к стохастическому
поведению, обнаруживаются и в системе, описывающей процесс
четырехволнового взаимодействия 2шо = W1+W2, 2к0 = кд. При этом
стабилизация линейной неустойчивой моды Wq осуществляется за счет
передачи энергии затухающим сателлитам u>i и Ш2- Если |сщ -UJ21 u>oj
то та-
кому режиму соответствуют стохастические модулированные колебания с
несущей частотой [21].
В заключение приведем результаты физического эксперимента с простой
диссипативной системой (RLC-контуром), в котором режим стохастических
автоколебаний также возникал в результате последовательности удвоений
[22]. Исследовались колебания в последовательном нелинейном RLC-контуре,
на который подводился периодический сигнал с частотой, равной собственной
частоте контура в линейном приближении (/о = 1,784 МГц). В качестве
нелинейного элемента использовался полупроводниковый диод, емкость
которого зависела от напряжения по формуле C(U) = С0(1 - U/Uo)-°'44. С
ростом амплитуды внешнего воздействия в спектре колебаний появлялись
последовательно субгармони-
Рис. 22.17. Спектры, иллюстрирующие бифуркации удвоения периода при
переходе к стохастическому поведению в нелинейном осцилляторе,
возбуждаемом периодической силой; А - амплитуда: / - частота (от а к г
амплитуда внешней силы увеличивается)
22.5. Пути возникновения странных аттракторов
483
ки /о/2, /о/4, /о/8 и /о/16, соответствующие рождению устойчивых
периодических движений с периодами 2Т, 4Т, 8Т и 16Т (рис. 22.17). С
ростом амплитуды внешней силы за критической точкой (точкой перехода)
дискретные пики уширялись, а пьедестал поднимался. Спектр колебаний,
наблюдаемых в области параметров, соответствующей развитому
стохастическому движению, показан на рис. 22.18.
Жесткий режим возникновения стохастических автоколебаний. Один из
механизмов возникновения странного аттрактора при непрерывном изменении
параметра проиллюстрируем на конкретном примере - системе Лоренца. Э.
Лоренц обнаружил "детерминированное непериодическое течение" [23] в
простой диссипативной системе с трехмерным фазовым пространством. Эта
система, пришедшая из гидродинамики, как сейчас выяснилось, имеет
многочисленные иные приложения [7], и ее динамика подробно исследована с
помощью качественных и численных методов.
Система Лоренца получается, в частности, из уравнений Буссине-ска,
описывающих термоконвекцию в подогреваемом снизу горизонтальном слое,
если ограничиться анализом лишь двумерных движений, а функцию тока ф и
изменение температуры Т представить в виде (см. (21.4))
ф(х, z, t) = фг1 (t) sin(7тха/l) sin(7rz/l),
Предыдущая << 1 .. 904 905 906 907 908 909 < 910 > 911 912 913 914 915 916 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed