Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
рождается устойчивый четырехкратный цикл. Дальнейшее увеличение b
приводит к тому, что он теряет устойчивость и возникает устойчивый цикл
периода 23, затем периода 24, ... , 2", 2n+1 и т. д. Наконец, при Ьж и
3,57 устойчивых периодических движений не остается и происходит переход к
стохас-тичности. В трехмерном фазовом пространстве этому соответствует
появление странного аттрактора (рис. 22.16). Обратим внимание на то, что
и при Ь > 3.57 это отображение может иметь устойчивые периодические
точки; например, при 6 = 3,83 существует устойчивый трехкратный цикл
[14].
Замечательной особенностью перехода к хаосу путем бесконечной цепочки
бифуркаций удвоения является его свойство универсальности [15].
Оказалось, что интервал изменения параметра Ь, внутри которого существует
цикл периода 2", с ростом п сужается по закону геометрической прогрессии
(Ьп - b"_i)/(bn+i - Ьп) = 5, (22.16)
где S = 4.66920... - универсальная постоянная Фейгенбаума. Отсюда
22.5. Пути возникновения странных аттракторов
479
^ в
iff V/ М ( 1 //
... 1 ^<zE^2T0
-XXj lUUXJ;
Рис. 22.16. Возникновение странного аттрактора в трехмерной системе путем
последовательности бифуркаций удвоения периода (исходное движение имеет
период То): а - последовательность удвоений в фазовом пространстве
(вверху) и на спектрограммах (внизу); б - странный аттрактор в виде
складывающейся вдвое и замыкающейся на себе "ленты", который возникает
вслед за потерей устойчивости движения с периодом 2°°То (в сечении
"лента" имеет канторовскую структуру [33]
сразу следует, что, определив экспериментально границы нескольких первых
удвоений, можно по формуле (Ьж - Ьп) и 8~п определить значение параметра
Ь^, когда появляется цикл бесконечного периода Т = - 2°°Т0, вслед за
которым и возникает стохастическое поведение. Универсальными при b ^ boo
оказываются и свойства возникшего таким образом стохастического движения
[16, 17].
Переход к стохастичности через бесконечную цепочку бифуркаций удвоения
периодического движения является довольно типичным для диссипативных
систем [18, 19]. Объясняется это тем, что многие диссипативные системы, в
том числе и высокого порядка (с многомерным фазовым пространством),
вблизи границы перехода описываются с достаточной степенью точности
гладким не взаимно однозначным одномерным отображением (рис. 22.66).
Природу этого явления мы обсудим в следующем параграфе. Здесь же приведем
два примера, иллюстрирующие рассматриваемый путь, перехода диссипативной
системы к стохастическому поведению.
480
Глава 22
Эти примеры, описывающие резонансное взаимодействие осцилляторов,
представляют и самостоятельный интерес для теории нелинейных волн.
Резонансное взаимодействие волн - наиболее характерное проявление
нелинейных свойств разнообразных сред. Как мы знаем (см. гл. 20),
возникающие при таком взаимодействии нелинейные явления (генерация
гармоник и субгармоник, самомодуляция и самофокусировка волн, различного
рода параметрические процессы) обнаруживаются в диспергирующих средах
даже при весьма малой нелинейности, если выполнены условия синхронизма
Y^ni^i = 0, ^п^к(о;;) = = 0, где u>i - частоты, а к(ш*) - волновые
векторы взаимодействующих волн. Амплитуды этих волн являются медленно
изменяющимися функциями пространственных координат и времени. Нелинейное
взаимодействие квазигармонических волн, как мы уже говорили, играет
большую роль в физике плазмы, гидродинамике, нелинейной оптике, физике
конденсированного состояния и других областях. Если число элементарных
возбуждений в среде очень велико, то, как правило, устанавливается
нерегулярное поведение волнового поля.
При отсутствии источников и стоков энергии спектр таких волн отвечает
равнораспределению энергии по степеням свободы (распределение Рэлея-
Джинса) (см. гл. 20). Для самосогласованного описания реальной волновой
турбулентности необходимо учесть диссипацию и подкачку энергии из
источника (внешнего поля при нагреве плазмы,
ветра для волн на воде и т. д.). При таком описании
задача сводится
к рассмотрению динамики ансамбля взаимодействующих осцилляторов - мод,
часть из которых черпает энергию от источника, а часть передает ее
термостату. Рассмотрим здесь простейшие модели такого типа, не
предполагая предварительно, что фазы волн хаотизированы (ср. с § 20.4).
В средах с нелинейностью, квадратичной по полю, элементарным
взаимодействием является взаимодействие трех волн (условие синхронизма ui
+ Ш2 - из + = 0, ki + k2 - k3 = 0; см. (17.30)):
oi = 0i(aj) + exp(iSt),
"2 = 02(aj) + a{a,3 exp(iSt). (22.17)
яз = 03 {o.j) - ai(i2 exp ( - iSt).
Здесь aj - комплексные амплитуды волн, которые предполагаются
пространственно однородными (нормировка выбрана таким образом,
22.5. Пути возникновения странных аттракторов
481
что коэффициенты взаимодействия равны 1), ai - линейные слагаемые,
описывающие подкачку энергии и диссипацию, 6 - расстройка.
Характер энергообмена между неустойчивой волной из ш3 и затухающей парой
