Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
числом максимумов в каждой группе. С точки зрения отобра-
476
Глава 22
Ум
Ум
кУа
Уо УI
djdgd^d, dt d2 d] Ar,AtA?\ у}
Рис. 22.13. Отображение Пуанкаре Рис. 22.14. Кусочно-линейная ап-
для системы, описываемой уравнени- проксимация отображения, изоб-
ями (22.9) при ц = 0: 1 - граница раженного на рис. 22.13 (диаграм-
жения Пуанкаре (22.12), (22.13) число максимумов в пачке - это число
итераций отображения с у < уо- Аппроксимируем наше отображение кусочно-
линейным отображением, как на рис. 22.14, и разобьем весь аттрактор на
отрезки Д,-, интересуясь теперь не точными координатами точки, а лишь
номерами отрезка, в который эта точка попадает. Каждой траектории при
этом будет способствовать определенная последовательность отрезков.
Для определения статистики сигнала нужно найти инвариантное распределение
вероятностей, т. е. знать вероятности перехода из одного отрезка в
другой. В нашем случае (рис. 22.14) их нетрудно определить: если из
отрезка возможен только один определенный переход, то вероятность
соответствующего перехода равна единице. Это относится к переходам,
начинающимся во всех отрезках, кроме d\. Из e?i возможны несколько
маршрутов и вероятность пока неизвестным нам образом распределяется между
ними. Из физических соображений можно сделать вывод, что вероятности
переходов d\ -м Ai должны быть пропорциональными длине отрезков Д,.
Используя теперь выражение для вероятностей переходов (их схема
представлена на рис. 22.15)
аттрактора
ма Ламерея)
H{di) = y(di+i) (i = 1, 2, 3), H{di) = n(di+1) + n(Ai+1) (i = 4, 5, 6)
fi(d7) = fj.(A8),
fx( Д5 + Дб + Д7 + Дв) = [i(di),
(22.14)
22.5. Пути возникновения странных аттракторов
477
мы можем определить вероятность того или иного числа ступенек на
диаграмме Ламерея (рис. 22.14), т. е. определить вероятность числа
импульсов в пачке (осциллограмма на рис. 22.10) Как видно из диаграммы, в
рассматриваемом нами случае число импульсов может меняться от пяти до
восьми. Если по окончании предыдущего цуга у попадает в интервал Д5, то в
следующем цуге будет пять импульсов (точка пройдет по отрезкам е?4, е?з,
е?2, d±, попадет в какой-нибудь из отрезков Aj и цуг завершится) рИс.
22.15. Граф для отобра-и т. д. Поэтому вероятность того, что в жения,
представленного на цуге будет п импульсов, равна условной рис. 22.14
вероятности Р(п) = уд(Д")//л(Д5 + Д6 + Д7 + Д8). Поскольку эта
вероятность пропорциональна длине интервала Д", можно приближенно
получить
Р(п)ъ(п-4)1/2к-п. (22.15)
Этот результат получен именно для ситуации, представленной на диаграмме
(см. рис. 22.14). Если минимальное число импульсов в цуге равно щ (а не
пяти, как в рассмотренном случае), то вместо (22.15) будем иметь Р(п, по)
" (п - по + l)1^-". Построенные с помощью этой формулы распределения
числа импульсов в цуге довольно хорошо описывают статистику импульсов
реального генератора.
В настоящее время предложено и подробно исследовано большое число
генераторов стохастических автоколебаний (см., например, [35, гл. 9]). В
частности, подробно изучен теоретически и экспериментально так называемый
генератор с "инерционной не пейпостью" (впервые термин был введен в
[42]), в котором автоколебания возникают за счет безынерционной
положительной обратной связи, приводящей к отрицательному сопротивлению,
а их ограничение за счет нелинейного инерционного взаимодействия между
динамическими переменными (см. книги [35, 39] и библиографию к ним).
22.5. Пути возникновения странных аттракторов
В этом параграфе мы обсудим наиболее типичные пути возникновения странных
аттракторов в системах с трехмерным фазовым пространством.
478
Глава 22
Многие из интересующих нас переходов описываются в рамках одномерных
отображений. С их обсуждения мы и начнем, памятуя о том, что к одномерным
отображениям вблизи границы возникновения сто-хастичности могут быть
сведены и некоторые многомерные системы (см. гл. 23).
Последовательные удвоения периода. Вернемся к отображению (рис. 22.66)
Xk+i - Ьхк( 1 - Xk), где параметр b лежит в интервале 0 ^ Ъ ^ 4.
К такому отображению сводятся многие трехмерные системы, в частности
система, аттрактор которой имеет вид расширяющейся ленты, образующей
складку, и затем замыкающейся на себя (рис. 22.16). Для координаты <р на
секущей получается отображение, как на рис. 22.66.
При любом b у этого отображения имеется неподвижная точка Xk+\ =Хк = х* =
0, а при b > 1 - еще одна: х* = 1 - 1/Ь. Эта точка устойчива вплоть до Ь
= 3. При b > 3 нетривиальная неподвижная точка становится неустойчивой:
мультипликатор dxu+i/dxu в этой точке переходит через значение -1 и
возникает устойчивое периодическое движение периода 2. Этому
соответствует появление двух действительных корней в уравнении х^+2 = Xk¦
Однократная неподвижная точка не исчезает, но она становится
неустойчивой. Двукратный цикл устойчив в интервале изменения параметра 3
< Ь < 3,45. Когда Ь яа 3,45 двукратный цикл теряет устойчивость и
