Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
лежат на поверхностях А (ж = 0) и В (ж = f(z). f(z) > 0), соответствующих
участкам а и (3 характеристики диода).
Система имеет одно неустойчивое (при 2h > g/f(0)) состояние равновесия ж
= у = z = 0 типа "седло". Траектории, лежащие на поверхности А,
раскручиваются вокруг неустойчивого фокуса и в конце концов достигают
края поверхности В. Здесь происходит срыв изображающей точки по линии
быстрых движений на поверхность В. Пройдя по В, изображающая точка
срывается обратно на поверхность А и попадает в окрестность состояния
равновесия - начинается новый цуг нарастающих колебаний. Построенная
картина движения и соответствует реализациям, представленным на
осциллограммах рис. 22.10. .
22.4. Статистическое описание простого генератора шума
473
Л, дБ
/,кГ ц 0 10 ^мс
Рис. 22.10. Спектры осциллограммы выходного сигнала автогенератора шума
при различных значениях R < 11 Ом (верхнему рисунку соответствует
наименьшее R
22.4. Статистическое описание простого генератора шума
Рассматриваемый нами генератор шума при pi = 0, как мы сейчас покажем,
описывается невзаимнооднозначным отображением отрезка в себя. Однако оно
существенно сложнее, чем, например, отображение рис. 22.7. Поэтому
аналитически найти инвариантное распределение вероятностей, решая
уравнения (22.9), для него не удается. Для доказательства стохастичности
и определения статистических характеристик генератора шума при
определенных значениях его параметров мы воспользуемся методом
символической динамики [5].
Итак, построим точечное отображение, соответствующее уравнениям (22.9)
при jj, -1 0. Рассмотрим преобразование точек полуплос-
474
Глава 22
z
Рис. 22.11. Фазовое пространство системы, описываеомой уравнениями (22.9)
кости х = 0, у > 0 в себя (рис. 22.11). При у, -1 0 эта полуплоскость
пересекается только траекториями, лежащими на поверхности медленных
движений, поэтому отображение получается одномерным - это отображение
полупрямой у > 0, x = z = 0b себя: yj+i = F(yj). В случае произвольной
нелинейности "переключательного" элемента (например, туннельного диода)
это отображение аналитически описать не удается. Поэтому воспользуемся
кусочно-линейной аппроксимацией:
(z - 1 + а). (1 - а) < z.
В этом приближении А и В - полуплоскости, уравнения медленных движений на
которых имеют вид (ср. с (22.9))
Здесь v = h - ag/2. b = g/( 1 - а). Эти уравнения линейны, поэтому с их
помощью легко получить явный вид отображения, сшивая участки траектории,
лежащие на плоскостях А и В.
Отображение будет состоять из двух частей: функция Fi(yj) описывает ту
часть отображения, которая дается траекториями, не заходящими в
полуплоскость В (рис. 22.12а), а функция F2{yj) - часть, задаваемую
траекториями, располагающимися на обеих плоскостях (рис. 22.126). Из
уравнений (22.11а) сразу получаем
а гг, z < а, f(z) - < (1 - а - z)/(l - 2а), а < z < (1 - а),
(22.10)
а) х = 2vx + у, у = -х на плоскости А,
б) х = 2vx + у - Ъ, у = -х на плоскости В.
(22.11)
Vj+i = F1(yj) = ехр(2тг^)% = ку,.
(22.12)
22.4. Статистическое описание простого генератора шума
475
Рис. 22.12. Построение отображения Пуанкаре для системы уравнений
(22.11): а - траектория располагается на одной поверхности медленных
движений; б - траектория срывается на вторую поверхность медленных
движений и возвращается обратно
Функция F2(y) так просто из уравнений (22.126) не выражается. Поэтому мы
аппроксимируем ее формулой, качественно правильно описывающей поведение
траектории в режиме стохастических колебаний:
Vj+i = F2{yj) = у0 - (yj - у0)1/2. (22.13)
Таким образом, при значениях у; < уо используется ветвь (22.12)
отображения, при yj > уо - ветвь (22.13). Степень 1/2 в (22.13) отражает
то обстоятельство, что траектории подходят к линии срыва х = 1 почти по
касательной. Константа у0 описывает сдвиг траекторий при движении на
плоскости В. Объединяя (22.12) и (22.13), получим отображение yj+i =
F(yj), представленное на рис. 22.13. Это отображение имеет притягивающую
область - аттрактор: у0 - (ку0 - Уо)1^2 < У < куо-Если 0 < к - 1 <
(4?/о)-1, то отображение внутри аттрактора растягивающее, т. е.
\dyj+i/dyj\ > 1.
Таким образом, в той области параметров, в которой система (22.9) при /г
-> 0 описывается отображением (22.12), (22.13) в ее фазовом пространстве
имеется стохастический аттрактор, на котором существует инвариантное
распределение вероятностей, а движение обладает свойством перемешивания.
Для доказательства стохастичности необходимо убедиться, что все движения
внутри аттрактора неустойчивы. Это заведомо выполняется, если отображение
растягивающее, т. е. \dyj+i/dyj\ > 1. Однако это условие является
несколько завышенным: достаточно, чтобы движения были неустойчивы не на
каждой итерации, а в среднем.
Обратимся теперь к вычислению статистических свойств выходного сигнала
[13]. Этот сигнал, как видно из представленных на рис. 22.10
осциллограмм, состоит из последовательности групп импульсов со случайным
