Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 905

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 899 900 901 902 903 904 < 905 > 906 907 908 909 910 911 .. 942 >> Следующая

координат и складывается, затем снова раскатывается и т. д. [7].
468
Глава 22
неустойчивы. Здесь открывается свойство, типичное для всяких странных
аттракторов: внутри ограниченной области, откуда траектории не выходят,
имеется счетное множество неустойчивых циклов, "перебрасывающих
изображающую точку одну в другую".
Убедиться, что растягивающее отображение отрезка в себя имеет счетное
множество неустойчивых периодических точек, проще всего, построив
последовательные итерации этого отображения (рис. 22.76): при двукратном
применении отображения неподвижных точек будет уже четыре, при
трехкратном - 23 и т. д. По этому поводу имеются математические теоремы,
из которых, в частности, следует, что если непрерывное (в том числе и не
гладкое) растягивающее отображение отрезка в себя имеет цикл периода три,
то оно имеет цикл с любым периодом [8]. Известно [9], что задаваемые
(22.4) последовательности нулей и единиц будут периодическими лишь для
множества рациональных чисел, а для почти всех иррациональных, т. е.
большинства точек отрезка (0, 1), эта последовательность будет случайной
в том же смысле, что и последовательность выпадения "орла" или "решки" в
классическом вероятностном эксперименте с подбрасыванием монеты.
Таким образом, движения динамической системы, описываемые отображением
типа рис. 22.6а и 22.7а, действительно сводятся к случайной
последовательности, т. е. являются стохастическими. Стохастические
характеристики отображения, приведенного на рис. 22.6а (или 22.7а),
находятся совсем просто. Непосредственно из формулы отображения Xk+i =
F{xk) следует, что после однократного отображения начальная плотность
вероятности, заданная на отрезке Pj(x), преобразуется в плотность
pj+1(F(x)) = ^Pj(x)\dF(x)/dx\(22.5)
где суммирование проводится по всем ветвям функции F(x). Смысл этой связи
таков: начальное распределение становится в dF/dx раз менее плотным
(отображение растягивающее), но в одни и те же интервалы dx отрезка
попадают после преобразования точки из нескольких участков исходного
отрезка (отсутствие взаимной однозначности). Отображения типа рис. 22.6а
и 22.7а имеют инвариантное распределение вероятности Р(х), которое,
очевидно, может быть найдено из условия pj+j = pj = Р, т. е. Р(х) должно
удовлетворять уравнению
P(F(x)) = ^2p(x)\dF(x)/dx\
(22.6)
22.2. Стохастическая динамика одномерных отображений
469
Для кусочно-линейных отображений вида xk+1 = {2ж*,}, как можно убедиться
прямой подстановкой, Р{х) = const. Полагая (из условия нормировки полной
вероятности на 1) Р = 1, согласно (22.2), (22.3)
1
находим для отображения (22.4) среднее {х) - jxdx = 1/2, диспер-
о
сию D = ((х - (ж))2} = 1/12 и корреляционную функцию [3]
K{j) = ?>_1([(Xi - (x))(xi+j - (ж))]) =
1
= 12 У (ж - 1/2)({2>}) - 1/2) dx = ехр[-(1п2)/]. о
Видно, что в вашем случае корреляции со временем спадают экспоненциально.
Показатель экспоненты, т. е. показатель Ляпунова, характеризующий
скорость спадания корреляций (одновременно и скорость разбегания
траекторий), - это энтропия Колмогорова-Синая. В данном случае энтропия h
= In 2.
Возможна ли стохастичность в системах, сводящихся не к разрывным
отображениям типа рис. 22.6а, а к гладким, как, например, на рис. 22.66?
Да, но не всегда.
Обратимся к отображению, а точнее к семейству отображений Xk+i = F(xk),
зависящему от параметра 6:
xk+i = Ьхк(1 - хк). (22.7)
При значении параметра 6 = 4 точка максимума х = 1/2 является прообразом
неустойчивой неподвижной точки ж = 0 (точка ж = 0 является последующей
для ж = 1/2). Если сделать замену переменной у = <р(ж) = = (2/7г) arcsin-
v/ж [6], то отображение (рис. 22.66) при 6 = 4 превратится в кусочно-
линейное отображение (рис. 22.6а):
(2у, О^У^ 1/2,
Р(У) = <
I 2(1 - у), 1/2 ^ у ^ 1,
для которого, как мы показали, инвариантное распределение вероятностей
существует. Отсюда следует, что при 6 = 4 и для отображения (рис. 22.66)
тоже существует инвариантное распределение вероятностей. Плотность этого
распределения равна [т:у/х{\ - ж)]-1.
470
Глава 22
22.3. Генератор шума. Качественное описание и эксперимент
Исследование стохастичности1 конкретных динамических систем методами
теории колебаний предполагает: выяснение структуры стохастического
множества, понимание механизмов возникновения хаоса, нахождение критериев
его существования и, наконец, приближенное (на основании выделения тех
или иных малых параметров) описание поведения системы в стохастической
области. Реализация этой программы возможна лишь для сравнительно простых
систем с трехмерным фазовым пространством, допускающих описание с помощью
двумерных, а приближенно - и одномерных отображений Пуанкаре. Рассмотрим
в качестве примера работу простого радиотехнического генератора
стохастических колебаний.
Что такое периодические автоколебания, мы хорошо знаем (см. гл. 14,16).
Стохастические автоколебания - Это неупорядоченные, случайные движения
(неконсервативных динамических систем, совершающиеся под действием
Предыдущая << 1 .. 899 900 901 902 903 904 < 905 > 906 907 908 909 910 911 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed