Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
отображения секущей поверхности, разрезающей фазовый поток, в себя. При
этом от дифференциальных уравнении мы переходим к разностным.
Использование метода точечных отображении особенно удобно при анализе
стохастического поведения динамических систем. Во-первых, как уже
говорилось в гл. 15, эффективно понижается размерность фазового
пространства и, кроме того, из процесса рассмотрения исключаются
регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложняющие описание
- это, в частности, движение вдоль траектории, принадлежащей
стохастическому множеству. Добавим, что для анализа стохастического
поведения на основе отображений в математике развиты специальные методы -
методы символической динамики [5, 6]. Их основная идея заключается в
кодировании траектории последовательностью символов из некоторого набора,
т. е. становятся дискретными не только моменты времени, в которые
определяется состояние системы, но и сами состояния.
Мы ограничимся обсуждением только одномерных отображений. Это вызвано
двумя причинами: во-первых, их можно исследовать достаточно подробно без
привлечения численного моделирования на ЭВМ, а во-вторых, к одномерным
отображениям (а точнее к почти одномерным) сводится исследование и
двумерных отображений, обладающих таким свойством: в одном направлении
элемент секущей поверхности X в результате действия отображения сильно
сжимается, а в другом растягивается (так называемое свойство
гиперболичности отображения) (рис. 22.5). В системе с таким отображением,
если достаточно долго подождать, почти все точки соберутся вблизи одной
или нескольких линий, и их дальнейшее поведение можно описывать,
пользуясь анализом одномерного отображения этих линий в себя.
Рассмотрим невзаимнооднозначное растягивающее отображение отрезка в себя.
Основываясь на чисто качественных соображениях и внимательном анализе
фазовых портретов, мы в начале главы пришли к тому, что для существования
в ограниченной области фазового пространства сложного, запутанного
поведения необходимо, чтобы, с одной стороны, все или почти все
траектории были неустойчивы, а с другой -
466
Глава 22
Рис. 22.5. Сжатие начального фазового объема в одном направлении и
растяжение в другом
а) б)
Рис. 22.6. Невзаимнооднозначное отображение отрезка в себя: а -
растягивающее кусочно-линейное; б - гладкое
изображающая точка не покидала данной области, т. е. нужна еще воз-
вращаемость траекторий. Проще всего удовлетворить этим условиям,
потребовав, чтобы система описывалась невзаимнооднозначным растягивающим
отображением отрезка в себя, например таким, график которого показан на
рис. 22.6а. Неустойчивость любой траектории здесь связана с тем, что
везде \dxk/dxk-i\ > 1, т. е. отображение растягивающее.
Покажем, что движение динамической системы, описываемое растягивающим
отображением отрезка в себя, может быть представлено как случайная
последовательность. Для простоты записи будем говорить не об отображении
рис. 22.6а, а об аналогичном ему отображении рис. 22.7а.
Воспользуемся методами символической динамики [10]. Для этого разобьем
фазовое пространство на конечное число областей Д0, Ai, Дг, ... , Д" и
предположим, что физический прибор показывает нам только, в какой из
областей в данный момент находится изображающая точка. Тогда каждой
начальной точке отвечает последо-
22.2. Стохастическая динамика одномерных отображений 467
Рис. 22.7. Разрывное растягивающее отображение отрезка в себя: а -
исходное отображение; б - двукратное отображение
вательность областей, через которые проходит ее траектория в последующие
моменты времени. Если движение периодическое, то чередование различных
также будет периодическим; если движение стохастическое, то
последовательность А, должна быть случайной. В случае отображения,
представленного на рис. 22.7а, областей можно взять всего две: Д0 - для
интервала 0 ^ хк ^ 1/2 и Дг - для интервала 1/2 < Xk ^ 1.
Теперь заметим, что если численную координату точки 0 ^ хк ^ 1 записать,
скажем, не в десятичной, а в двоичной форме, то наше отображение можно
записать аналитически:
х к = {2xk-i}. (22.4)
где {...} означает дробную часть числа (иногда вместо (22.4) используют
другую форму записи: хк = 2t^_i (mod 1)). Например, на число 0.1001011
... это отображение действует просто как сдвиг (сдвиг Бернулли) и
переводит его в число 0,001011 ... То, что число получается бесконечным
только в одну сторону и сдвиг, следовательно, односторонний, связано с
необратимостью преобразования1.
Если координата х - число рациональное, то, начиная с некоторого символа
(например, n-го), последовательность нулей и единиц будет повторяться:
это n-кратная периодическая точка отображения. Нетрудно проверить, что
множество периодических точек у нашего отображения является плотным и
бесконечным и что точки этого множества все
1Его аналогом является двумерное "преобразование пекаря", напоминающее
процесс раскатывания теста; квадратный лист раскатывается по одной из
