Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
координаты и скорости всех, скажем, 1019 молекул, находящихся в 1 см3
газа. Кроме того, ни одной ЭВМ не под силу расчет траекторий такого числа
частиц с учетом их столкновений друг с другом. В простой системе, когда
степеней свободы немного (например, п ^ 10), такой проблемы не возникает.
Задав 2п чисел, описывающих начальное состояние системы, мы, как кажется,
можем вычислить (пусть с помощью ЭВМ) ее состояние в сколь угодно далеком
будущем. О каком же стохастическом поведении простых систем мы собираемся
вести разговор? Как может появиться случайность и. следовательно,
непредсказуемость вопреки теореме существования и единственности,
гарантирующей при заданных начальных условиях однозначное
детерминированное поведение?
Прежде чем ответить на эти вопросы, мы должны сформулировать понятие
случайного поведения детерминированных систем.
^Сейчас речь идет лишь о таких системах, для которых доказана теорема о
существовании и единственности решения.
22.1. Как появляется случайность в динамической системе
457
Случайность движения обычно ассоциируется с двумя обстоятельствами - с
очень "чувствительной" зависимостью от начальных условий (которая
фактически означает непредсказуемость) и с существованием средних по
времени величия. Поясним это.
Предположим, у нас есть генератор случайных колебаний, параметры которого
мы не меняем. При многократном включении генератора мы будем получать все
время разные осциллограммы. Однако если повторить эксперимент большое
число раз, то уже будут проявляться статистические закономерности. Эти
закономерности должны быть независимы от вероятностного распределения
начальных состояний генератора. Это начальное распределение не является
универсальным и должно меняться от генератора к генератору, оно зависит
не только от конкретных особенностей элементов схемы, но и от способа
включения генератора.
Существование средних величин, не зависящих от особенностей задания
начальных условий, представляется наиболее важным для определения
стохастичности. Рассмотрим какую-либо функцию мгновенного состояния х
нашей детерминированной системы, например, F(x). При начальных условиях
x(to) = х0 эта функция меняется во времени как F(t, to- xq). Пусть для
большинства хо эта функция во времени меняется нерегулярно и даже малое
изменение хо приводит к существенному изменению вида функции F(t, t0,
хо)- Нас будут интересовать случаи, когда существует средняя величина
Т
(F(xо)) = lim 1 [ F(t, t0: x0)dt (22.1)
Т-Э-ОО J. J О
такая, что (F(xo)) для большинства начальных условий в заданной области
фазового пространства не зависит от хо-
Обсудим, как в детерминированной системе появляется непредсказуемость
индивидуального движения, которая в то же время позволяет перейти к
статистическому описанию.
Представим себе в фазовом пространстве системы ограниченную область, из
которой фазовые траектории не выходят. Предположим, что все переходные
процессы закончились и все траектории в этой области неустойчивы по
Ляпунову. Для систем с одной степенью свободы такое предположение
бессмысленно: если из какой-то области на фазовой плоскости траектории не
выходят, то, поскольку пересечение их невозможно, они либо замкнуты, либо
стремятся к простому аттрактору (предельному циклу или состоянию
равновесия), и тогда внутри
458
Глава 22
области есть устойчивые траектории. Однако для систем хотя бы с полутора
степенями свободы наше предположение уже оказывается реализуемым.
Конкретным устройством области, в которой отсутствуют устойчивые
траектории, мы будем подробно заниматься ниже.
Сейчас перечислим только траектории, которые могут существовать внутри
такой области: неустойчивые состояния равновесия, неустойчивые циклы и
незамкнутые траектории, которые бесконечно блуждают внутри нашей
ограниченной области (но не выходят из нее). Из-за ограниченности
фазового объема любая незамкнутая траектория через достаточно большое
время подойдет к себе самой сколь угодно близко. Но траектория
неустойчива, поэтому из этой близости вовсе не следует, что следующий
этап движения будет похож на предыдущий. Наоборот, малое возмущение будет
нарастать, и дальнейший маршрут изображающей точки невозможно предвидеть.
Из этих рассуждений следует и еще одно проявление неустойчивости -
невозможно воспроизвести движение неустойчивой динамической системы,
задавая начальные условия со сколь угодно высокой, но конечной точностью.
Наиболее четко эту мысль выразили Н. С. Крылов, а затем Макс Борн. В
частности, данное Борном определение детерминированности заключается в
следующем. Каждое состояние измеряется хотя и с малой, но всегда с
конечной неточностью е, поэтому оно определяется не числом, а некоторым
вероятностным распределением, и задача состоит в предсказании
распределения в момент времени t на основе известного начального
распределения. Если данное решение устойчиво и начальные возмущения не
нарастают, то более позднее состояние предсказуемо и теория может
