Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 90

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 942 >> Следующая

4.1) и AJIJ сс V е (п. 2.4а). Во втором случае J изменяется хаотически в
широких пределах, так что AJ/J ~ 1. Ясно, что количественное определение
перехода от одного случая к другому дает важную информацию относительно
поведения системы. Будем называть эти две области соответственно
246
Глава 4
локальной (или изолированной, или слабой) и глобальной (или связанной,
или сильной) стохастической областью, а сам переход - границей
стохастичности, или переходом к глобальной стохастичности. Именно такой
переход и рассматривается детально в этой главе.
Как мы уже видели в задаче об ускорении Ферми (§ 3.4), граница
стохастичности *) иь отделяет сплошную стохастическую компоненту при
малых скоростях частицы от области со стохастическими слоями вблизи
сепаратрис резонансов при больших скоростях (см. рис. 4.1, 1.14, и 3.15).
Эта граница отличается от границы устойчивости us, ниже которой все
неподвижные точки соответствующего отображения неустойчивы. Оказывается,
что uh/>us, откуда следует, что неустойчивость неподвижных точек
достаточна, но не необходима для глобальной стохастичности, т. е. это
условие является слишком сильным. Мы же ищем более эффективный критерий,
которой был бы и необходимым, и достаточным. К сожалению, чисто
аналитического метода получения такого критерия не существует. Поэтому
приходится прибегать к различным правдоподобным рассуждениям,
подкрепленным численными экспериментами. В этой главе мы рассмотрим пять
методов, описанных качественно в п. 4.1а, каждый из которых дает свой
вклад в понимание рассматриваемой проблемы. В качестве модели для
иллюстрации этих методов мы используем стандартное отображение, свойства
которого обсуждаются в п. 4.16.
* 4.1а. Качественное описание критериев перехода
Первый критерий перехода к глобальной стохастичности, предложенный
Чириковым [67] и позднее усовершенствованный им [70], известен сейчас как
критерий перекрытия. В своей простейшей форме он постулирует, что
последняя инвариантная поверхность между двумя резонансами разрушается,
когда невозмущенные сепаратрисы этих резонансов касаются друг друга.
Действительно, интуитивно ясно, что касание стохастических слоев,
которые, как мы знаем, окружают сепаратрисы, должно приводить к
разрушению всех инвариантных поверхностей в этой области. Строго говоря,
критерий перекрытия не является ни необходимым, ни достаточным. С одной
стороны, последняя инвариантная поверхность может разрушаться значительно
раньше перекрытия рассматриваемых резонансов за счет взаимодействия
других резонансов между ними. С другой стороны, возмущение может так
исказить сепаратрисы, что они фактически не будут перекрываться вопреки
предсказаниям по первому приближению. Фактически численное моделирование
показывает, что критерий перекрытия является
Ч Напомним, что в этой задаче эффективное возмущение пропорцио' нально
1/и2.
Переход к глобальной стохастичности
247
чересчур жестким условием глобальной стохастичности. Он может быть,
однако, сделан более эффективным, если учесть ширину стохастического слоя
сепаратрисы и некоторые из промежуточных резонансов [70]. В таком виде
критерий перекрытия рассматривается в § 4.2. Однако и в простейшем виде
этот критерий дает грубую оценку для границы стохастичности и
использовался в самых различных задачах Чириковым [67-71], Фордом и сотр.
[423], Розенблютом и др. [349 ] и многими другими (более полную
библиографию см. в работе [70]). Следует отметить, что в качестве грубого
критерия стохастичности можно использовать также условие потери линейной
устойчивости периодических траекторий, которое приводит к границе
устойчивости us в примере § 3.4.
Используя аналогичную методику, Егер и Лихтенберг [212] вычисляли размер
вторичных резонансов между гармониками фазовых колебаний на основных
резонансах и невозмущенными колебаниями. Они показали, что при перекрытии
первичных резонансов параметр перекрытия вторичных резонансов, т. е.
отношение их размера к расстоянию между ними, сравним с параметром
перекрытия для первичных резонансов и по индукции это же справедливо и
для резонансов более высоких порядков. При этом локальное число вращения
для первичного резонанса вблизи его центра равно а = 1/4, т. е. здесь
возникает вторичный резонанс четвертой гармоники. Изучение резонансной
структуры со всей очевидностью показывает, что простой критерий
перекрытия является слишком жестким. Численно было найдено, что когда
параметр перекрытия для первичных резонансов достигает 2/3 (при этом
появляется вторичный резонанс шестой гармоники), то этого
достаточно,чтобы разрушить последнюю инвариантную поверхность между
первичными резонансами. Такой критерий применялся для многих задач, как,
например, ускорение Ферми [274] и циклотронный нагрев [212, 275].
Отметим, что усовершенствованный критерий перекрытия Чирикова также
связан со вторичными резонансами, но не в центре первичного резонанса, а
вблизи его сепаратрисы. Использование вторичных резонансов
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed