Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
механикой желательно, но не обязательно. Подробный об -зор необходимого
материала дается в § 1.2 и 1.3.
Основные идеи динамической стохастичности в гамильтоновых системах
вводятся в § 1.4. В гл. 2-6 мы последовательно переходим от регулярного к
стохастическому движению. Чтобы помочь читателю, мы отмечаем звез -
12
Предисловие
дочкой (*) те параграфы и пункты (п.), в которых содержится основной
материал. Они и составляют ядро нашего изложения. Особенно важным
является п. 2.4а о резонансной теории возмущений. Материал книги был
успешно использован в 30-часовом курсе лекций для аспирантов в Беркли.
В дополнение к основному материалу рассмотрены также и другие важные
вопросы. Влияние внешнего шума на динамику системы с двумя степенями
свободы представлено в § 5.5 (с использованием результатов п. 5.4г), для
большего числа степеней свободы - в § 6.3, а некоторые приложения
рассмотрены в § 6.4. Описание диссипативных систем в гл. 7 является более
или менее независимым от обсуждения гамильтоновых систем. При изучении
материала гл. 7 следует обращаться к введению в § 1.5, а также к
описаниям метода сечения Пуанкаре в п. 1.26 и показателей Ляпунова в п.
5.26 и § 5.3. Бифуркации удвоения периода рассмотрены в п. 7.26, 7.3а и в
дополнении Б (см. также п. 3.4г). Другие специальные вопросы, такие, как
теория возмущений Ли (§ 2.5), методы ускоренной сходимости (§ 2.6),
некоторые аспекты теории ренормализации (§ 4.3 и 4.5), неканонические
методы (п. 2.3г), глобальное устранение резонансных знаменателей (п. 2.4г
и, частично, 2.5в), вариационные методы (п. 2.66 и § 4.6) и модуляционная
диффузия (п. 6.2г), можно отложить до ознакомления с основным материалом.
Данная монография подготавливалась в течение трех с половиной лет. Многие
друзья и коллеги поддерживали нас в этом. Мы хотим выразить здесь
признательность всем тем, кто просмотрел основные разделы рукописи и чьи
замечания существенно улучшили окончательный вариант текста. Мы
благодарны X. Абарбанелю, Дж. Кари, Б. В. Чирикову, Р. Коэну, Д. Эсканде,
Дж. Форду, Дж. Грину, Р. Хеллеману, П. Холмсу, Дж. Ховарду, О. Лэн-форду,
Д. Лихтенбергу, Р. Литлджону, Б. Мак-Намаре, Г. Мотцу, К- Спарроу, Дж. Л.
Теннисону и А. Вайнстейну. Полезные замечания были сделаны также Дж.
Казати, А. Кауфманом, Я. Персивалем и Г. Смитом. Нам также приятно
отметить значительное влияние многих опубликованных работ Б. В. Чирикова
в этой области. Некоторые изложенные в книге идеи были развиты авторами
во время работы по контрактам с Национальным научным фондом,
министерством энергетики и научно-исследовательским управлением военно-
морских сил. Один из авторов (А. Л.) благодарит за гостеприимство колледж
св. Екатерины в Оксфорде, а другой (М. Л.) столь же признателен
Имперскому колледжу в Лондоне, где была подготовлена значительная часть
рукописи.
А. Лихтенберг, М. Либерман
Глава 1
ОБЩИМ ОБЗОР И ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
§ 1.1. Вводные замечания
Эта книга появилась в результате исследований по нелинейной динамике.
Целью исследований было выяснение поведения отдельного осциллятора при
медленном изменении его параметров, с одной стороны, и поведения
нескольких слабо взаимодействующих осцилляторов - с другой. Эти две
проблемы, которые первоначально рассматривались независимо, оказались
тесно связанными между собой в случае многомерных систем.
Существенный прогресс в понимании эффекта медленного изменения параметров
был достигнут на Сольвеевской конференции 1911 г. благодаря Эйнштейну,
который указал на значение интеграла действия в физике. Он отметил, что
"адиабатическое" постоянство действия, продемонстрированное впервые
Лиувиллем и Грином за три четверти века до этого, прямо связано с
физическим представлением о том, что число квантов в медленно меняющейся
системе должно оставаться постоянным. Появившийся в результате метод
Венцеля-Крамерса- Бриллюэна (метод ВКЦ 1427, 235, 41 ] ) стал основой
волновой механики, а также теории распространения волн в неоднородных
средах. Соответствующую математическую теорию развили Боголюбов и
Митропольский [331 и Крускал [239]. Сейчас она широко известна как метод
усреднения х).
Другое направление исследований, касающееся связанных нелинейных
осцилляторов, началось с попыток решить задачу трех тел в небесной
механике, которая служит упрощенной моделью Солнечной системы. Ранние
работы по этой проблеме восходят к трудам Гамильтона и Лиувилля середины
XIX в., которые стимулировали развитие гамильтоновой механики, лежащей в
основе большинства современных исследований. К концу XIX в. многие идеи,
касающиеся устойчивости нелинейных систем, были рассмотрены Пуанкаре
[3371 и применены им к проблемам небесной механики. Именно в этот период
Пуанкаре, Цейпель [419] и другие разработали методы теории возмущений,
которые оказались столь плодотворными при описании поведения нелинейных
систем на
Ч Асимптотические методы использовались уже Пуанкаре ([337],гл. 8) и были
