Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 89

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 942 >> Следующая

формулой (3.5.24). Тогда отображение принимает вид
Это и есть сепаратрисное отображение 170], которое описывает движение в
окрестности возмущенной сепаратрисы.
Неподвижные точки и их устойчивость. Мы не будем здесь рассматривать
сепаратрисное отображение столь же подробно, как отображение Улама выше,
а отметим лишь его наиболее характерные особенности. Оба отображения
очень похожи друг на друга, оба относятся к классу явных отображений
поворота и их можно представить в виде произведения инволюций (см. п.
3.16). Оба отображения имеют нелинейность одного типа, которая приводит к
увеличению фазового сдвига, а следовательно, и к стохастичности при
уменьшении переменной действия (w или и).
Неподвижные точки определяются из (3.5.26) условием
Устойчивость неподвижных точек определяется условием (3.3.55)
Следовательно, при все неподвижные точки 0Х = 0 неустой-
чивы, a 0j = я устойчивы при
wn+1 = wn - w0 sin 0",
e*+i = en-Qoin _32_ |
^П+1 I
(3.5.26а)
(3.5.266)
где
2
(3.5.27)
Qoln
32
= 2 пт.
Откуда
где т-целое число, (3.5.28а)
0! = 0; я.
(3.5.286)
| Sp А 1 = 2 - Qo cos0 <2.
(3.5.29)
(3.5.30)
или
(3.5.31)
Как и в случае отображения Ферми, можно ожидать, что величина ws
определяет важную границу перехода к сплошной стохастичности при w<^ws.
Отображения и линейная устойчивость
243
Сепаратрисное отображение играет чрезвычайно важную роль в понимании
хаотического поведения систем, близких к интегрируемым. Как мы видели
выше, резонансы в таких системах всегда окружены сепаратрисами, а
сепаратрисное отображение описывает движение в их окрестности, причем это
движение является хаотическим при w -*¦ 0. Ввиду такой универсальности
сепаратрисное отображение интенсивно изучалось [70] с целью определения
границы стохастичности wb, которая характеризует ширину стохастического
слоя вокруг сепаратрисы, а также для выяснения статистических свойств
хаотического движения внутри этого слоя. Результаты этих исследований
представлены в гл. 4 и 5. Далее в гл. 6 будет показано, что движение в
окрестности сепаратрисы лежит в основе анализа диффузии Арнольда,
которая, вообще говоря, всегда имеет место в системах с тремя и более
степенями свободы.
Глава 4
ПЕРЕХОД К ГЛОБАЛЬНОЙ СТОХАСТИЧНОСТИ
*§ 4.1. Введение
В гл. 3 мы видели, что в системах с двумя степенями свободы, близких к
интегрируемым, вблизи сепаратрис резонансов возникают области
хаотического движения. Эти области сохраняются для любого ненулевого
возмущения е, хотя их площадь и стремится к нулю при е -> 0.
Следовательно, не существует резкого "перехода к стохастичности" для
какого-то критического значения е, и поэтому смысл любого такого критерия
должен быть определен более четко.
Одно из возможных определений состоит в измерении доли фазового
пространства с хаотическим движением и в последующем нахождении
минимального значения е, для которого эта доля достигает некоторого
произвольно выбранного значения, скажем 1/10 или 1/2. Наличие подобной
неопределенности приводит к тому, что такой подход является в каком-то
смысле качественным. Несмотря на это, он может в значительной степени
способствовать пониманию явления стохастичности. Для определения критерия
перехода к стохастичности использовались различные методы:
1) мгновенная скорость расходимости близких траекторий [409, 44];
2) убывание корреляций [302, 401 ];
3) обмен энергией между степенями свободы [148];
4) фурье-спектр траекторий [318];
5) показатели Ляпунова [19];
6) КС-энтропия [70].
Первые три метода критиковались в литературе (см., например, [55, 59,
60]) как неспособные правильно различать регулярное и стохастическое
движение *). С другой стороны, последние три метода, как выяснилось,
имеют большое значение и для анализа движения внутри хаотических
областей, чему посвящена гл. 5.
*) Хотя упомянутая выше критика и имеет некоторые основания, следует
отметить, что эти методы успешно использовались в ряде работ, например в
[443] (первый метод) и в [127] (третий метод). Второй метод (при
правильном его применении) эквивалентен четвертому и особенно удобен в
реальных экспериментах, тогда как два последних метода больше подходят
для численного моделирования. Отметим также, что ссылки авторов при
перечислении методов носят случайный характер, более аккуратная
библиография дана ниже, при описании некоторых из этих методов.- Прим.
ред.
Переход к глобальной стохастичности
245
Более естественное определение "перехода к стохастичности" вытекает из
следующего наблюдения, характерного для различных систем с двумя
степенями свободы: в фазовом пространстве существует резкая граница между
областями с узкими стохастиче-
Ф
Рис. 4.1. Переход от локальной к глобальной стохастичности с ростом
возмущения (1/и2).
скими компонентами движения, запертыми инвариантными поверхностями, и
областями сплошного стохастического движения. В первом случае изменение
переменных действия ограничено шириной сепаратрисы резонансов (см. рис.
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed