Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
приближение заданной структуры поля daj/dx = 0, Aui ф 0, неполный обмен
энергией между модами; б) усиление волн с частотами шi и и2 при подаче на
вход нелинейной системы сигнала с частотой и>з (Vj > 0); в) схема
рассеяния назад при "1, v3 > 0, a V2 < 0
что характер взаимодействия будет аналогичен, хотя, вероятно, полного
обмена энергией уже не будет (рис. 17.6а).
2. Пусть по-прежнему система консервативна, т. е. j(E) = 0. Предположим
теперь, что процесс стационарный, т. е. daj/dt = 0. Это уже принципиально
волновая задача, так как мы рассматриваем взаимодействие волн в
пространстве. В этом случае, как и в предыдущем, система (17.30) сводится
к уравнениям в обыкновенных производных.
а) Если все vj в уравнениях (17.30) имеют один знак, т. е. все три волны
распространяются в одну сторону, то задача сводится к предыдущей. Итак,
если есть нелинейная консервативная среда (например, кристалл) и на
границу такой среды мы подаем волну с частотой шз, то при наличии
флуктуаций возбудятся две другие волны с частотами шi и Ш2, причем их
амплитуды и пространстве будут меняться, как показано на рис. 17.66.
Таким образом, можно подобрать длину кристалла I так, чтобы на выходе
получить низкочастотную волну с максимальной амплитудой.
б) Если же ui, из > 0 и дг < 0, тогда волна с о>2 - это волна, рассеянная
назад. При рассмотрении этого случая принципиально наличие границ (рис.
17.6в).
17.3. Взрывная неустойчивость
Рассмотрим взаимодействие пространственно-однородных полей в
неконсервативной среде, т. е. da.j/dx = 0, В(Н) = 0, j(E) ф 0. Примером
такой среды может служить активная линия передачи, одна из возможных
реализации которой представлена на рис. 17.7а. Активным
368
Глава 17
U
А
А
-±. к
О
я
2п
п/2 Зя/2 5я/2Ф
а)
б)
в)
Рис. 17.7. Взаимодействие пространственно однородных полей в
неконсервативной среде: а - активная линия передачи как пример такой
среды; б - интегральные кривые T3sin<3> = const на фазовом цилиндре (До;
= 0); в - интегральные кривые sin$ = (AuM + const)^~2 на фазовом цилиндре
Аш ф 0
элементом в ней является туннельный диод. Уравнения для комплексных
амплитуд взаимодействующих волн в такой системе имеют вид (нелинейность,
вносимая туннельным диодом, считается квадратичной)
ai - exp(iAwt), - аза^ exp(iAwt). аз = ai"2 ехр( - iAuit).
Перейдем к действительным амплитудам и фазам заменой cij = - Aj
exp(itpj), тогда получим
Ф - -(А1А3/А2 + А1А2/Аз + A3 Л 2/Аф) sin Ф + До;,
где Ф = рз - ipi - ip2 - Auit.
1. Пусть Аш = 0, т. е. волны находятся в синхронизме. Тогда система
(17.31) имеет два независимых интеграла движения: А\ - Л2 = const, А\ -
А\ = const, и еще один следует из них: А§ - - const. Существование
этих соотношений означает, что ес-
ли АДО) = Л(0) (г = 1, 2, 3), п 1рз - <pi - (р2 = 0 при t = 0, то и при t
ф 0 амплитуды всех волн остаются одинаковыми. На этом основании можно
рассматривать только два уравнения системы (17.31):
Ai = А2А3 cosФ, А2 = А3А1 cosФ, A3=A1A2cos$,
(17.31)
Л = А2созФ, Ф = - ЗЛвтФ.
(17.32)
Умножая первое уравнение на АФ, второе на АА и вычитая одно из другого,
находим
17.3. Взрывная неустойчивость
369
Получаем, таким образом, уравнение интегральных кривых A3 sin Ф = const
на фазовом цилиндре (рис. 17.76). Из (17.32) следует, что в системе есть
целая прямая состояний равновесия (А = 0). Если cos$ > 0, то Л растет,
при собФ < 0 А убывает. Функция 27rsin<I>(?) -> 0 при Ф(?) -> 0, т. е.
разность фаз взаимодействующих волн стремится к нулю и фазы
синхронизируются. При этом А = А2 и A(t) = 1/(1/А(0) - t). При t' =
1/А(0) амплитуды взаимодействующих волн обращаются в бесконечность.
Заметим, что амплитуды растут быстрее, чем по экспоненциальному закону,
так как обращаются в бесконечность за конечное время, - это так
называемая взрывная неустойчивость [7]. Явление взрывной неустойчивости
проявляется, в частности, в средах, где диссипативная нелинейность
квадратична (~ Е2).
2. Рассмотрим случай неточного синхронизма, т. е. Аш ф 0. При тех же
предположениях мы получим вместо (17.32)
А = А2 совФ, Ф = -2А втФ + Aw.
Отсюда d(A2 sinФ)/& = Аш(1А/(И или вшФ = (AwA + const)/A2 - уравнения
интегральных кривых на фазовом цилиндре (рис. 17.7в). Состояние
равновесия здесь уже одно: Фо = тг/2 (т. е. совФо = 0) и Ао = Aw/З. Фазы
тоже синхронизуются, и амплитуды стремятся к бесконечности, т. е. по-
прежнему существует взрывная неустойчивость. Таким образом, линейная
расстройка не в состоянии стабилизировать взрывную неустойчивость.
Взрывная неустойчивость, проявляющаяся в одновременном нарастании
амплитуд всех резонансно связанных волн возможна и в среде без
диссипации, если среда неравновесна [7, 10]. Примером может служить
взаимодействие волн разных знаков энергий (см. гл. 10) в системе плазма-
электронный поток. Если отрицательной энергией обладает волна, которая
распадается (о"з), либо пара низкочастотных волн (04,2); то в правых
частях уравнений для di,2,3 будут одинаковые знаки, и вместо (17.9) мы
