Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 867

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 861 862 863 864 865 866 < 867 > 868 869 870 871 872 873 .. 942 >> Следующая

N
h(x, t) = Fr e,xp(iwTt - гкТх) + к. с.,
Г = 1
х+А t-\-T
(XT)-1 // h(x, t) exp(-iwrt + ikrx) dx dt.
(17.19)
Fr = . ,
X t
Функции w также представляются в виде
N
w(x, t) = WT exp(iwTt - kTx) + к. с. (17.20)
Г = 1
После подстановки (17.19) и (17.20) в (17.18) получим, приравнивая
коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями, неоднородную
систему алгебраических уравнений для определения W:
(гшгА - ikTB + C)WT = FT,
откуда /-компонента вектора WT записывается в виде
N
Wi(u>r, кт) = -iD-1(u}r, кт) DjiFj(u}T, кт),
1=1
где Dji - алгебраические дополнения элементов матрицы (Aw - Вк - гС) (см.
уравнение (17.16)).
Если конец вектора (wr, кт) не лежит на дисперсионной кривой, т. е. это
не собственная волна системы, то D(wr, кг) / 0 и добавок ограничен. В
противном случае W будет секулярно нарастать. Чтобы этого не было, надо
изъять из уравнения для добавка резонансный член. Математически это
сводится к выполнению равенства
N
Y,DjiFj(ur,kr)=0. (17.21)
l=i
Так как Dji = 'уСЦ'Фь, гДе Сj - собственные функции сопряженной с (17.15)
системы, условие (17.21) можно записать в ви-N
де QFj(wr, кт) - 0. Это и есть условие ортогональности. Отсюда 1=1
364
Глава 17
с учетом (17.19) и (17.18) для комплексных амплитуд a,j получим уравнения
Это и есть искомые уравнения для комплексных амплитуд взаимодействующих
квазигармонических волн.
В качестве примера рассмотрим взаимодействие высокочастотных и
низкочастотных электромагнитных волн в среде, дисперсионная
характеристика которой изображена на рис. 17.1b1. Это среда, состоящая из
осцилляторов с собственной частотой шо, элемент объема которой
характеризуется поляризуемостью х¦ При квадратичной нелинейности
естественно в качестве элементарного процесса рассматривать
взаимодействие трех волн. Условия синхронизма имеют вид
Уравнения для компонент электромагнитного поля и поляризации среды
запишем в виде
(С, Aip)daj/dt + (С, Bip)daj/dx = (С, {/(щ, kj))), (17.22)
где
x+Xt+T
х t
Используя соотношения
(С ,Аф) i,kD'J
О Dik
О CL j О CL j .________i \->
+ vrp(wr, кт)-^ = (ipjDJ Y; вчШ-
(17.23)
wi + и>2 - шз, к± - к2 - кз-
(17.24)
дВ{Н)
91 (17.25)
1 Применительно к волнам на воде резонансные взаимодействия хорошо
изложены в [6]; таким взаимодействиям в плазме посвящена книга [7].
17.2. Резонансное взаимодействие волн
365
(X = (г_1)/4т1'). Дисперсионное уравнение системы (17.25) легко найти:
D(u>, к)
Положим фЕ - 1. Тогда
w - ск 47rw 0
-ск w 0 0
0 0 w i
iulx 0 ~Ш2д U)
- со (со - ешд) - с2к (ш2 - w0) = 0.
фн =
D
11
ск 0 из
0 ui i
ги>оХ -i^o ш
где Dи = w(w2 -Шд), т. е. фн = ск/ш. Аналогично фр = ш^хИщ ~ ш' )> фп =
ги>и>дх/(ш2 - w2). Будем искать решение в виде суммы волн:
Е, Н, Р, R = з
= ^2 Фе,н,р,я{Ш], kj)a,j((3X, fit) exp(itjjt - kjx) + к. с. (17.26) j=i
Уравнения для комплексных амплитуд имеют вид da,j dcij . i ^
ж + ^ = {фв1}и) =
г=1
где
(17.27)
и
Dii
D'
uij, kj
a,j exp{iuijt - ikjx) + к. с.
Lj=i
x exp(- iuijt + ikjx)
D 21
Ж.
/ dB{H) dH
\ dH dt
У фн(ык, kk)ak exp(iuikt - ikkx) + к. с
k=l
x exp(-iwjt + kjx) ), ?>2i = -ck(w2 - Wo), D'u = 2w(w2 - Wq)2 + w^ •
4ttx/(w2 - ui2).
366
Глава 17
Зададим теперь конкретный вид нелинейных зависимостей, т. е. j(E) и В(Н).
Пусть
j(E)=gE + gHE2, В(Н)=^нН2. (17.28)
Если условия синхронизма выполнены не точно, то
uii + и>2 - W3 + Aw, к± + к2 = к3 + Ак, (17.29)
где Aw - частотная расстройка, а Ак - расстройка от резонанса
по волновому числу. Учитывая (17.26) и (17.28), получаем из уравнений
(17.27) следующие укороченные уравнения:
~dt Vl~dx = одазазв8^* + ^^аза^е1^1],
= H[g2a2 + a2a3aleiA^ + (17.30)
+ v3~r^-= g[g3a3 + &3aia2e lAh>t + гС,за\а2е
где
Du Dn r D2i
Si = jp~g ^ Ll> > ujj, kj <Ji = Jv~gH "j > kj ^ Ll> uij, kj
Обратим внимание на то, что Du/D'u и D21/DI,, а следовательно, gj, crj и
Q зависят только от квадратов частот и волновых чисел, т. е. имеют всегда
одинаковый знак и являются действительными величинами. Зависимость j(E)
определяет диссипативную нелинейность, в уравнениях (17.30) она связана с
<jj, нелинейная зависимость В(Н) определяет консервативную нелинейность и
входит в те же уравнения коэффициентом (j.
Рассмотрим несколько различных случаев.
1. Если предположить, что поля пространственно однородны, т. е.
dcij/dx = 0, то взаимодействие волн описывается теми же уравнениями, что
и колебания в системе трех связанных осцилляторов. Такое описание
называется приближением заданной структуры поля. Мы знаем, что при Aw = 0
в консервативной системе (т. е. при j(E) = 0) будет происходить обмен
энергией между модами, если высокочастотная мода обладает большей
начальной энергией. Если же синхронизм не точный, т. е. Aw ф 0, то при
малых Aw естественно предположить,
17.3. Взрывная неустойчивость
367
а, а<

t Г i , X
со,
О
а>з
I -V'
б)
в)
Рис. 17.6. К исследованию системы уравнений (17.30) в консервативном
случае, когда j(E) = 0-, loi + Ш2 = из + Аш-, &i + &2 = кз + А к: а)
Предыдущая << 1 .. 861 862 863 864 865 866 < 867 > 868 869 870 871 872 873 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed