Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть в среде с дисперсией и малой нелинейностью распространяются волны с
и> = u>j и kj = k(u>j), где связь к(ш) определяется дисперсионным
уравнением. В результате взаимодействия из-за нелинейности в среде
возникает вынужденная комбинационная волна с частотой = = nju,j и
волновым вектором k" = njkj. Эта волна остается ма-i=i 3=1
лой (порядка величины нелинейности), если и к" не удовлетворяют
дисперсионному уравнению (D(u>H, к") ф 0), и будет нарастать, если
удовлетворяют уравнению D(ljн, &н) = 0, или, в другой форме, когда
uiH - , k" - кг(сс)н). (17.11)
Эти соотношения можно рассматривать как условия резонанса частот и
волновых векторов волн, необходимые для эффективности их взаимодействия.
Их часто называют также условиями синхронизма, имея в виду, что фазовая
скорость, v = (w"/fc2)k комбинационной волны близка к фазовой скорости
одной из собственных волн среды.
Если условия синхронизма выполняются для очень большого числа волн, то в
результате взаимодействия форма волны уже будет далека от синусоидальной.
Квазигармоническое приближение здесь не работает. Однако часто
оказывается, что число взаимодействующих волн невелико. Такие задачи
очень важны для нелинейной оптики, физики твердого тела, физики плазмы.
Например, классической задачей нелинейной оптики является задача о
вынужденном рассеянии Мандельштама-Бриллюэна [4, 5]: падающая на кристалл
световая волна частоты и>i вызывает модуляцию плотности среды
(электрострикционный эффект), возникает акустическая волна частоты
Происходит отражение света от появившихся неоднородностей, результатом
чего является возникновение волны частоты ш3 = - ш2-
распространяющейся в обрат-
ную сторону (см. рис. 17.1г). Взаимодействие волн при этом в одномерном
случае (световая волна с напряженностями электромагнитного
17.2. Резонансное взаимодействие волн
361
поля Е - Еу, Н = Нг распространяется в направлении х) описывается
следующей системой уравнений:
Первые два уравнения описывают изменение электромагнитного поля световой
волны с учетом изменения диэлектрической проницаемости среды е за счет
наличия в ней возмущений плотности. Два последних определяют изменение
плотности р и скорости частиц и в звуковой волне с учетом пондеромоторных
сил (возникающих из-за электрострикци-онного эффекта). Первое из них -
уравнение неразрывности, второе - уравнение движения. Как решить систему
(17.12), учитывая, что правые части уравнений, характеризующие нелинейные
связи, малы? Поскольку даже при эффективном взаимодействии
квазигармонических волн изменение их амплитуд и фаз вследствие малости
нелинейности должно происходить медленно, для исследования естественно
применить метод, так или иначе связанный с усреднением по временной и
пространственной переменным (рекомендуем читателю при ознакомлении с
материалом этого параграфа вспомнить § 17.1).
Рассмотрим общую схему построения такого метода, считая волны одномерными
[12]. Пусть поле в слабонелинейной среде описывается системой уравнений
вида
где A, D и С - квадратные матрицы, U и / - n-мерные вектор-функции,
причем / - полиномы по U, Ut. Ux. Для системы (17.12) компонентами
вектора U являются Е, Н, р. и. При р = 0 поле в среде является
суперпозицией гармонических волн вида
дЕ , IM = о
дх с dt
(17.12)
AUt + BUX + CU = p,f(U, Ut, Ux), p " 1. (17.13)
U = aiftexp[iu}t - ik{oj)x] + к. с.,
(17.14)
где a - комплексная амплитуда, зависящая от начальных и граничных
362
Глава 17
условий, ф - поляризационный вектор, определяемый системой
(шА - гкВ + С)ф = 0, (17.15)
а ш и к связаны дисперсионным уравнением
D(w, к) = Det ||Aw - Вк - iC|| = 0. (17.16)
Одну из компонент вектора ф всегда можно положить равной
единице,
тогда остальные находятся из системы (17.15). Будем рассматривать
взаимодействие конечного числа волн вида (17.14), для которых выполнены
условия синхронизма (17.11). (То обстоятельство, что условия синхронизма
выполнены лишь для конечного числа волн, означает, что система обладает
дисперсией.) При р, ф 0 решение будем искать в виде
i(x, t) = aj(fix, рЬ)ф{шj, kj) exp(iu!jt - ikjt) +
+ к. c. + pw(x, t), (17.17)
заранее предполагая, что амплитуда медленно изменяется в пространстве и
во времени. Для того чтобы решение (17.17) было справедливым, надо, чтобы
поправка w(x, t) не нарастала со временем. Подставляя решение в (17.13),
получаем уравнение для w в виде
Awt + Bwx + Cw = h(x, t),
(17.18)
где
V' Г (r)ai claj 1
h(x, t) = - 2_^ exP{iujjt - ikjx) уАф(ш$, kj)~rjj- + Вф(ш^. ^j)~g-J +
дал
+ К. с. + /
ajфj exp(iu!jt - ikjx) + к. с.
Чтобы функция w(x, t) при любых х, t оставалась ограниченной, необходимо
и достаточно, чтобы в правой части системы (17.18) отсутствовали
резонансные члены, т. е. правая часть должна быть ортогональна
собственным функциям линейной задачи. Так как нелинейность полиномиальна,
правые части (17.18) являются периодическими функциями
17.2. Резонансное взаимодействие волн
363
по х и t, и их можно представить в виде ряда Фурье
