Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
ж =" (^гг + тг " -) с"ф = с'еФ*
Интегрируя это уравнение, находим АхА2А3 совФ = G = const. Используя этот
интервал и соотношения Мэнли-Роу (17.8), из (17.9) получим уравнение для
N3(t):
dN3(t)/dt = 2a[N3{C3 - N3)(C2 - N3) - G2]1/2.
Если три корня уравнения N3(03 - Дгз)(С<2 - N3) = G2 расположить в
убывающем порядке, то уравнение для N3(t) можно преобразовать к виду
mt)
<r(t - to) = J [(N3 - NC)(N3 - Nb)(N3 - Na)}-^2 dN3
N3(t0)
(Nc ^ Nb ^ Na ^ 0). Интеграл в правой части заменой переменных y(t) .=
[(N3(t) - Na)/(Nb - Na)]1/2 сводится к эллиптическому (y{t0) = 0):
y(t)
a(t - t0)(Nc - N^1/2 = - J [(1 - y2)( 1 - a2y2)]-1/2 dy,
0
откуда y(t) = sn[a{Nc- Na)l/2(t0 - t):a], a = [(Nb - Na)/(NC - Na)]1/2. В
итоге для -/V3(f) получаем общее решение
N3(t) =Na + (Nb - Na) sn2[a(Nc - Na)1/2(t0 - *);"].
Читателю предоставляется самостоятельно получить из этого общего решения
рассмотренные нами выше частные случаи.
Завершая этот параграф, остановимся кратко на особенностях вырожденного
резонансного взаимодействия осцилляторов с частотами и> и 2ш. Рассмотрим
в качестве примера резонансное взаимодействие нелинейно связанных
колебаний в простой модели - пружинном маятнике (рис. 17.4а), уравнения
для которого в пренебрежении трением имеют вид
йх + ±их = I (v% - |уи> "2 + у"2 = - у ^у U1U2 + 2uxu^j .
358
Глава 17
При решении методом усреднения было обнаружено, что при соотношении
параметров к/т " 4g/l, т. е. когда шВеРт " 2шугл, происходит
периодическая перекачка энергии из угловых колебаний в вертикальные и
наоборот (рис. 17.46), что и было тут же подтверждено экспериментально.
Рис. 17.4. Пружинный маятник (а) и периодический обмен энергией между
угловыми и вертикальными колебаниями (б)
Р. В. Хохлов, решая задачу о стационарном нелинейном режиме работы
параметрического усилителя бегущей волны, нашел, что при распространении
вдоль усилителя волна накачки 2шо параметрически усиливает начальную
волну и>о, передавая ей почти всю свою энергию [1, 4, 5, 8].
В процессе дальнейшего распространения происходит обратное - интенсивная
волна и>о генерирует вторую гармонику, и затем вновь все повторяется
сначала, т. е. наблюдается явление периодического обмена энергией между
гармониками (рис. 17.46).
В самом простом случае, соответствующем системе уравнений (17.6), при Ы!
= = w и ыз = 2w (условие синхронизма u> + uj - 2и>
выполняется всюду точно; взаимодействие называется вырожденным) имеем
Характер взаимодействия, описываемого этой системой, совершенно иной, чем
в рассмотренном выше невырожденном случае.
Отличия таковы. 1) Если в начальный момент в системе было возбуждено
только колебание основной частоты и, т. е. аш(0) = о,° и й2ш(0) = 0, то с
течением времени появляется и колебание на гармонике 2ш, энергия первой
моды будет перекачиваться в энергию ее второй гармоники, процесс слияния
квазичастиц w + ш = 2и> будет происходить всегда. 2) В (17.6) скорость
нарастания каждой моды зависит только от "чужих" амплитуд, а в
вырожденном случае изменение аш
t
а)
б)
гаш = сга2ша*ш, ia2u) = аа2ш.
17.2. Резонансное взаимодействие волн
359
зависит и от амплитуды собственной. 3) Если аш = 0 при t - 0, то
колебания этой частоты и не появятся.
Рис. 17.5. Фазовые портреты нелинейного осциллятора, описывающие обмен
энергией между гармониками в системе с квадратичной нелинейностью: а - Дш
= 0; б - |Дщ|/(2(Мо) < 1; в - \&w\/{25iA0) > 0
В предположении слабой нелинейности укороченные (усредненные) уравнения
для амплитуд и фаз осцилляторов ш и 2и>, взаимодействующих во времени или
в пространстве, записываются в виде
Ai -- <J\A\A2 sin Ф, А2 = 02^1 sin Ф,
Ф = -(2<Ti^2 - <T2^4f/Л2) cos Ф - Дщ,
где Ф = 2ipi - (р2 - Дcot. Эти уравнения нетрудно свести к уравнению
нелинейного осциллятора, если воспользоваться интегралом энергии U2A\{t)
+ a\A\(t) = const = а\А\ и ввести новые переменные X = ЛгвшФ, Y = ЛгсовФ.
Фазовые портреты получившегося таким образом осциллятора при различных
значениях расстройки приведены на рис. 17.5. Мы видим, что при сделанных
предположениях о малости нелинейности (или, что то же самое, малости
начальных энергий возбуждения) система из двух нелинейно связанных
осцилляторов демонстрирует лишь очень простые - квазипериодические -
движения. С физической точки зрения отличие между такими движениями (рис.
17.5) заключается лишь в различной глубине энергетических биении между
осцилляторами и различном периоде этих биений.
360
Глава 17
17.2. Резонансное взаимодействие волн в
слабонелинейных средах с дисперсией
Анализируя взаимодействие в системе трех связанных осцилляторов, мы уже
упоминали, что в среде с дисперсией при слабой нелинейности три волны с
фиксированной пространственной структурой будут взаимодействовать так же.
Правда, условие резонанса должно выполняться теперь и для частот, и для
волновых чисел. Однако в методе исследования многоволновых взаимодействий
в среде с дисперсией есть свои особенности, которые требуют обсуждения.
