Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействия на квадратичной нелинейности может происходить лишь при
условии, что нормальные частоты системы удовлетворяют условию резонанса
Может иметь место, правда, вырождение - в случае, когда u>i = и>2 и можно
рассматривать систему с двумя нормальными частотами ш и 2и>, но это уже
частный случай (мы рассмотрим и его). Без нарушения общности в условии
резонанса (17.2) можно оставить только знак "+", т. е. + и>2 ~ ^з*
U) 1 rh 1^2 - ¦
(17.2)
352
Глава 17
Таким образом, при слабой нелинейности взаимодействие трех осцилляторов в
системе с сосредоточенными параметрами или трех нормальных мод резонатора
может быть эффективным лишь в случае, когда выполнено условие (17.2).
Причем, если мы рассматриваем среду с дисперсионной характеристикой
такой, как на рис. 17.16, в, то условие резонанса в этом случае должно
быть выполнено не только для частот, но и для волновых чисел: cji + 0J2 =
^з, ki + кг = кз [1]. Итак, для слабонелинейной консервативной системы с
тремя степенями свободы исходные уравнения можно записать в виде (17.1).
Воспользуемся для их решения асимптотическим методом (см. гл. 16),
отыскивая решение в виде
xj(t) = aj(fit) exp(iajjt) + к.с. + pwj(t,). (17-3)
После подстановки решения (17.3) в систему уравнений (17.1) и разделения
членов с разными порядками малости получим уравнение для поправки u)j,
характеризующей степень отличия приближенного решения от точного:
Wj +u)?Wj = - 2iu)jaj exp(iuijt) +
+ 2iu)jh* ехр(-гш,-?) + fj{aX}2,3 exp("Wij2,з^) + к.с.). (17.4)
Чтобы ошибка не нарастала, как мы видели, необходимо и достаточно, чтобы
правая часть уравнения (17.4) не была резонанса на частоте uij или чтобы
правая часть уравнения была ортогональна собственным функциям (17.4) при
ц = 0. Из этого условия получим уравнение для амплитуд
t+T
2iujjhj = Т-1 J fj(aeluJt + K.c.)e~*"J< dt,
t
или
ihj = (2(fj(aelut + K.c.)e~llJjt) , (17.5)
где угловыми скобками обозначено усреднение за период времени Т. В нашем
случае квадратичной нелинейности fj может быть представлена соотношением
fl = X aJkiXkXi.
к,I
17.1. Взаимодействие трех связанных осцилляторов
353
Так как мы искали решение для x(t) в форме (17.3), то в нелинейную
функцию fj будут входить осциллирующие сомножители ехр[г(ы? ± u>i)t\.
Очевидно, что вклад в правую часть уравнений (17.5) дадут слагаемые с ±
ш; я так как все другие комбинации будут содержать множители exp[i(u>k
^LOj)t], которые при
усреднении обращают в нуль соответствующие слагаемые в fj. Окончательно
после усреднения получим три уравнения для комплексных амплитуд:
Эта система точно интегрируется в эллиптических функциях Якоби, но сейчас
мы попробуем разобраться в поведении системы качественно, не решая ее.
Сделаем замену
Тогда получим в новых переменных (индекс "н" будем опускать)
Без ограничения общности величину а можно считать положительной. Умножим
каждое уравнение из (17.6) на aj и сложим с комплексносопряженным ему,
воспользовавшись тем, что ajctj + djhj = d\aj\2/dt. В результате получим
соотношения
где Nj(t) = a,ja*j = |ay |2 характеризует интенсивность колебаний в j-й
моде, или на j-й нормальной частоте; по аналогии с квантовой механикой N
часто называют числом квантов. Из (17.7) легко получить два независимых
интеграла движения и третий, представляющий собой следствие первых двух:
ia,i = <ria3a2, га2 = <т2а3а)\ га3 = <x3aia2.
га\ = аа^аз, га2 = <т a3al, га3 = <raia2.
(17.6)
N± = -гсг(а3а2а)) - a^a2ai), N2 = - г<т(а3а2а^ - ala2ai), N3 = га{аза.2а\
- a^a^ai),
(17.7)
- лу = о. |№ + Jv,)= 0.
N2(t) + N3(t) = const = c2. N\(t) + N3(t) = const = C3.
Ni(t) - N2(t) = const = C\,
(17.8)
354
Глава 17
Эти соотношения называются соотношениями Мэнли-Роу. Из них следуют важные
выводы.
1. Если при t = 0 энергия была запасена в основном лишь в одной первой
(или второй) моде, т. е. Nx(0) TV2(0), N3(0) или
N2(0) Ni(0), N3(0), то при любом t интенсивность колебаний на
суммарной частоте N3 будет незначительной. Действительно, если ЛГ3(о) =
0, то, казалось бы, она может вырасти за счет уменьшения Ni(t), так как
Ni(t) + N3(t) = const = ЛГ(0). Однако тогда должна уменьшаться и N2(1),
потому что Ni(t) - N2(t) - Nx(0) - ЛГ2(0). Но TV2(?) + N3(t) = N2(0) -
малая величина; следовательно, N3(t) не может вырасти больше, чем на
величину iV2(0), при этом в момент t = t' будем иметь Лг2(^) = 0, N3(t')
= JV2(0). Таким образом, энергия высокочастотного колебания возрасти за
счет одного лишь низкочастотного не может, хотя это в принципе и не
противоречит закону сохранения энергии. Закон сохранения энергии можно
получить, умножив уравнения (17.7) соответственно на ш2, Ш3. Тогда,
суммируя их, получаем
+ LV2N2 + W3TV3) = 1а(аза\а\ - a3a2ai)( -и>х - w2 + w3).
Но lo\ + ui2 = W3; следовательно, u>iN1 + LO2N2 + LJ3N3 = const или u>xAx
+ Ш2А2 + Ш3= const, a,j - Ajeltpj,
2. Если при t = 0 энергия была запасена, в основном, в высокочастотной
моде, т. е. N3(0) TVi(0), ЛГ2(0), то картина иная:
из интегралов (17.8) следует, что за счет N3 могут одновременно вырасти
