Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 861

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 855 856 857 858 859 860 < 861 > 862 863 864 865 866 867 .. 942 >> Следующая

затягиванием; оно хорошо известно экспериментаторам. Во многих случаях
оно является вредным, так как в процессе настройки генератора при
изменении какого-нибудь параметра может происходить изменение частоты.
Детальное исследование зависимости ширины интервала затягивания от
параметров системы мы проводить не будем из-за громоздкости вычислений.
Отметим только, что для того, чтобы избежать затягивания, надо
использовать слабую обратную связь в генераторе или уменьшать добротность
второго контура.
Вопрос о взаимодействии двух биологических видов со времен Вольтерра (см.
гл. 1) является центральным в теоретической экологии [7, 8].
Экологи изучают, как правило, три типа взаимодействия:
а) взаимодействие "хищник-жертва"
(см. гл. 1);
б) невзаимное воздействие одного вида на другой;
в) конкуренция видов(вид взаимодействия, при котором любой из видов
подавляет рост другого при численном его превышении).
Обратимся к несколько модифицированным уравнениям Вольтерра, которые
позволяют рассмотреть эти взаимодействия. Они выведены из логистического
уравнения N = sN( 1 - N/K), в которое добавлены слагаемые - 'yiNiN2 и -
72^2^1 для описания "подавления" одним видом другого. Уравнения имеют вид
Рис. 16.13. Явление затягивания: а - зависимость коэффициентов связи для
д < 1 от расстройки; б - область гистерезиса на графике Вина
N1 = JVifei - (ег/КМ - 71^2],
N2 = N2^2 - (?2/^2)^2 ~~ 72-Wi],
(16.14)
где N1, N2 - численности видов.
346
Глава 16
Рис. 16.14. Решение системы уравнений (16.15), учитывающей
самоограничение "жертвы" - слагаемое (ei/K\)Nl в первом из уравнений
(16.15) (стрелки на плоскости N\N2 указывают направление движения системы
- ее динамику) (а) и изменение численности "хищников" (штриховая линия) и
"жертв" (сплошная линия) (б)
Если речь идет о взаимодействии между жертвой с численностью N\ и
хищником с численностью N2, который уничтожает жертву, то (16.14) следует
переписать в виде (см. [8])
Ni = ?iNi - (ej /Ki)Ni - 'yiNiN2, N2 --?2N2 + ryiNiN2. (16.15)
Решение системы (16.15) известно [8]: численности жертв и хищников
колеблются, затухая со временем (колебания численности жертв опережают по
фазе колебания численности хищников) (рис. 16.14).
Динамику конкуренции между двумя видами иллюстрирует рис. 16.15, из
которого следует возможность устойчивого и неустойчивого состояний
равновесия системы (16.14) (ср. с рис. 16.12).
При ?\ = ?2 в случае устойчивого равновесия 72 > 71, а
е/К\ > ?/К2' Эти неравенства между коэффициентами системы (16.14)
означают, что когда один из конкурентов увеличивает свою численность, то
сильнее подавляется его собственный рост, чем рост его конкурента. Если
оба вида имеют одинаковые потребности, то один из них скорее всего
вытеснит своего конкурента.
16.3. Взаимная синхронизация мод
Весьма важным представляется вопрос: какие физические механизмы мешают
существованию многопериодических движений в авто-
16.3. Взаимная синхронизация мод
347
Рис. 16.15. Состояния равновесия системы (16.14) при конкуренции двух
видов [8]: а - устойчивое (К\ < ТСг; ?2/72 < ?1/71); б - неустойчивое {К,
> К.2\ ?2/72 > ?1/71) (начальные условия определяют, какой вид выживет)
колебательных системах со многими степенями свободы? Для ответа на этот
вопрос рассмотрим поведение ансамбля квазигармонических автогенераторов
со слабой связью:
А% - 7*Д*(ДгО Дг ) 4" ^*(Д.7;1> Фг - ^г Т Pi(Aji i, (16.16)
(г = 1, 2, ... , IV). Здесь добавки a,, Pi отражают взаимодействие мод.
При оц = Pi = 0 все колебания независимы, и фазовое пространство системы
(16.16) распадается на N фазовых плоскостей, на каждой из которых имеется
единственный устойчивый предельный цикл с периодом 27r/wj и амплитудой
А^. В исходном 27У-мерном пространстве таким независимым колебаниям
соответствует притяжение изображающей точки к TV-мерному тору -
произведению независимых циклов. Если все несоизмеримы, то фазовые
траектории на торе представляют собой плотную, нигде не замыкающуюся
обмотку - квазипе-риодическое движение. Когда же между автогенераторами
(или автоколебательными модами) появляется связь, то такое простое квази-
периодическое движение, вообще говоря, должно разрушаться. Самые простые
- одномодовые - автоколебания устанавливаются в многомодовой системе в
результате действия эффекта конкуренции, который связан с появлением на
каждой или некоторых модах нелинейного поглощения, прогрессирующего с
ростом энергии "чужих" мод. Такая ситуация обычно возникает в тех
случаях, когда все моды черпают энергию из одного источника. Функция
связи при этом может зависеть
348
Глава 16
только от энергии мод:
а,- = -A^pijAj, (16.17)
зФ'
где pij - коэффициент связи. При pij < 7; связь слабая и возможна
многочастотная генерация, как, например, в газовом лазере с неоднородно
уширенной линией активного вещества - разные моды резонатора черпают
энергию от разных активных молекул. Если же, например, pij > 7i (сильная
связь), то независимо от числа начально возбужденных мод устанавливается
Предыдущая << 1 .. 855 856 857 858 859 860 < 861 > 862 863 864 865 866 867 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed