Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
х2 = ai$iel"'ltn + а2 Ф2еШ2*н + к.с.
Значения комплексных амплитуд ai, a2 определяются начальными условиями, а
коэффициенты распределения даются выражениями Ф = = (1 -ui'2)/(aui'2) =
и>'2/(?-a/2), ш' = и>/пх (читателю предоставляется убедиться в этом
самостоятельно). Нормальные частоты u>i, и>2 удовлетворяют уравнению (1 -
a)w'4 - (1 + ?)ш'2 + ? = О (его легко получить, подставив решение х\, х2
~ exp(iu)t") в систему (16.10) р = 0).
Зависимость нормальных частот от расстройки, определяемая этим
уравнением, задается графиком Вина (рис. 16.11). При 0 </j Cl (это
означает, что генератор возбужден слабо) и 6 яз 1 (добротность второго
контура велика) для решения системы (16.10) можно, как и в предыдущем
параграфе, воспользоваться методом Ван-дер-Поля.
Имея в виду малость р, решение (16.10) будем искать в виде (16.11), но
амплитуды а* и а* (* = 1, 2) будем уже считать функциями времени.
Подставив это решение в систему (16.10), разрешим ее относительно
производных da,i/dtH (i - 1, 2) и, усреднив правые части полученных
уравнений по времени, получим укороченные уравнения типа (16.4), но для
двух комплексных амплитуд ai и а2. Использовав представление aj = Aj
exp(iipj) (j = 1, 2), перейдем затем к уравнениям для действительных
амплитуд и фаз:
2Ai = Mi[l - (^i + Р\2А^)\А\.
2 Л2 = ph2[ 1 - (А2 + р2хА^)]А2. (16.12)
Ф\ - Ф2 = 0,
Рис. 16.11. График Вина. Асимптота при ? ->¦ оо - и}[2 = 1; асимптота ^22
= (? + о)(1 - о)-1
16.2. Конкуренция
343
где
hi = (Ti\i (i = 1, 2), а1=ш{--\-г-, <x2 = w.
4 ш2 1 _ 4 1
2 24(wf-w?)'
Ai = 4(1 - <5Ф1/?Ф2), А2 - 4(1 - <5Ф2/?Ф1), pi2 - 2A2/Ai, р21 = 2Ai/A2.
Из системы (16.12) следует, что колебания в генераторе будут происходить
с теми же частотами, что и в линейной системе (правые части уравнений для
фаз - нули, т. е. поправка на частоту отсутствует).
Поскольку в уравнение для амплитуд фазы не входят, можно провести
исследование амплитудных уравнений независимо. Перейдем к переменным т =
fit" и mi = А\, т2 = А\. Тогда уравнения для квадратов запишутся в виде
rhi = /н[1 - (mi + pi2m2)]mi, га2 = h2[ 1 - (m2 + p2irai)]ra2. (16.13)
Они описывают взаимодействие двух мод (нормальных колебаний), черпающих
энергию из одного источника. Коэффициенты pi2 и р21 характеризуют влияние
мод друг на друга и называются коэффициентами нелинейной связи мод. Их
физический смысл весьма очевиден: при малых pi2 и р21 моды почти не
замечают друг друга и автоколебания на каждой из мод ведут себя
независимо, при больших р\2 и р21, наоборот, уровень, на котором
стабилизируются амплитуды |ai] и |а2|, определяется амплитудами "чужих"
мод |а2| и |ai| соответственно (это сильная связь). Наконец, связь может
быть невзаимной, когда pi2 ф p2i; при этом влияние одной из мод на другую
может быть сильным, а обратное - слабым.
Исследуем зависимость стационарных решений системы (16.13) от
коэффициентов связи с помощью анализа фазовой плоскости. Фазовые портреты
для различных pi2 и р21 (рис. 16.12а) приведены на рис. 16.12 б-д. Легко
убедиться, что система имеет четыре состояния равновесия:
1) m 1 = ш2 = 0; 2) mi = 1, m2 = 0: 3) mi = 0, m2 = 1:
4) mi = (1 - pi2)/(l - P12P21), m2 = (1 - p2i)/(l - P12P21)-
Последнее существует лишь в том случае, если параметры на плоскости
р\2р2\ находятся в области I или IV, причем устойчивым оно оказывается
только при малых коэффициентах связи (область IV). Можно
344
Глава 16
III I
IV II
р
б)
д)
Рис. 16.12. Фазовые портреты системы (16.13), иллюстриующие процесс
взаимодействия двух мод
убедиться, что для рассматриваемого нами генератора коэффициенты связи не
могут быть одновременно меньше единицы. Таким образом, двухчастотный
режим (характерный для эквивалентной линейной системы) в нелинейном
автогенераторе реализоваться не может. В области II (III) при любых
начальных условиях устанавливаются колебания на второй (первой)
нормальной частоте. В области I "выживание" той или иной моды
определяется начальными условиями, а размер областей притяжения мод
зависит от коэффициентов связи. Такой характер взаимодействия мод обычно
называют конкуренцией мод. Выясним зависимость режимов работы системы от
расстройки между контурами. Из характера изменения коэффициентов связи
для 5 < 1 (рис. 16.13а) следует, что при ? < ?i могут существовать
колебания только на частоте и>2, а при ? > ?2 - только на частоте u>i
(рис. 16.136). В области ?1 < ? < ?2 в зависимости от начальных условии
может устанавливаться любой из режимов (на рисунке эта область
заштрихована). Таким образом, если плавно менять расстройку, начиная с
малых значений ?, то сначала в генераторе будут колебания на большей
нормаль-
16.2. Конкуренция
345
Р\ 1
ной частоте; при ? = ?2 скачком произойдет изменение частоты до значения
Wi (при этом имеет место и скачок амплитуды), и при дальнейшем росте
расстройки колебания будут на меньшей нормальной частоте. При обратном
ходе по ? наблюдается гистерезис (рис. 16.136). Это явление называется
